Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shuni Structured version   Unicode version

Theorem shuni 26345
 Description: Two subspaces with trivial intersection have a unique decomposition of the elements of the subspace sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shuni.1
shuni.2
shuni.3
shuni.4
shuni.5
shuni.6
shuni.7
shuni.8
Assertion
Ref Expression
shuni

Proof of Theorem shuni
StepHypRef Expression
1 shuni.1 . . . . . . 7
2 shuni.4 . . . . . . 7
3 shuni.6 . . . . . . 7
4 shsubcl 26265 . . . . . . 7
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . . . . . 6
6 shuni.8 . . . . . . . 8
7 shel 26255 . . . . . . . . . 10
81, 2, 7syl2anc 661 . . . . . . . . 9
9 shuni.2 . . . . . . . . . 10
10 shuni.5 . . . . . . . . . 10
11 shel 26255 . . . . . . . . . 10
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9
13 shel 26255 . . . . . . . . . 10
141, 3, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9
15 shuni.7 . . . . . . . . . 10
16 shel 26255 . . . . . . . . . 10
179, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . . 9
18 hvaddsub4 26122 . . . . . . . . 9
198, 12, 14, 17, 18syl22anc 1229 . . . . . . . 8
206, 19mpbid 210 . . . . . . 7
21 shsubcl 26265 . . . . . . . 8
229, 15, 10, 21syl3anc 1228 . . . . . . 7
2320, 22eqeltrd 2545 . . . . . 6
245, 23elind 3684 . . . . 5
25 shuni.3 . . . . 5
2624, 25eleqtrd 2547 . . . 4
27 elch0 26299 . . . 4
2826, 27sylib 196 . . 3
29 hvsubeq0 26112 . . . 4
308, 14, 29syl2anc 661 . . 3
3128, 30mpbid 210 . 2
3220, 28eqtr3d 2500 . . . 4
33 hvsubeq0 26112 . . . . 5
3417, 12, 33syl2anc 661 . . . 4
3532, 34mpbid 210 . . 3
3635eqcomd 2465 . 2
3731, 36jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   cin 3470  (class class class)co 6296  chil 25963   cva 25964  c0v 25968   cmv 25969  csh 25972  c0h 25979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvmulass 26051  ax-hvdistr1 26052  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-hvsub 26015  df-sh 26251  df-ch0 26298 This theorem is referenced by:  chocunii  26346  pjhthmo  26347  chscllem3  26684
 Copyright terms: Public domain W3C validator