HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval2i Structured version   Unicode version

Theorem shsval2i 24937
Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1  |-  A  e.  SH
shlesb1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shsval2i  |-  ( A  +H  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem shsval2i
StepHypRef Expression
1 ssun1 3622 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 ssintub 4249 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
31, 2sstri 3468 . . . 4  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
4 ssun2 3623 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
54, 2sstri 3468 . . . 4  |-  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
63, 5pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A 
C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  /\  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )
7 shlesb1.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
8 shlesb1.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
9 ssrab2 3540 . . . . 5  |-  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  SH
107, 8shscli 24867 . . . . . . 7  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
117, 8shunssi 24918 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
12 sseq2 3481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  +H  B )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  x  <->  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
1312rspcev 3173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +H  B
)  e.  SH  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( A  +H  B ) )  ->  E. x  e.  SH  ( A  u.  B
)  C_  x )
1410, 11, 13mp2an 672 . . . . . 6  |-  E. x  e.  SH  ( A  u.  B )  C_  x
15 rabn0 3760 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  SH  | 
( A  u.  B
)  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  SH  ( A  u.  B
)  C_  x )
1614, 15mpbir 209 . . . . 5  |-  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  =/=  (/)
17 shintcl 24880 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  SH  /\  {
x  e.  SH  | 
( A  u.  B
)  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  e.  SH )
189, 16, 17mp2an 672 . . . 4  |-  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  e.  SH
197, 8, 18shslubi 24935 . . 3  |-  ( ( A  C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  /\  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )  <->  ( A  +H  B )  C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )
206, 19mpbi 208 . 2  |-  ( A  +H  B )  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
2112elrab 3218 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  e.  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  <->  ( ( A  +H  B )  e.  SH  /\  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
) ) )
2210, 11, 21mpbir2an 911 . . 3  |-  ( A  +H  B )  e. 
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
23 intss1 4246 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  e.  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  ->  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  ( A  +H  B ) )
2422, 23ax-mp 5 . 2  |-  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  ( A  +H  B )
2520, 24eqssi 3475 1  |-  ( A  +H  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   E.wrex 2797   {crab 2800    u. cun 3429    C_ wss 3431   (/)c0 3740   |^|cint 4231  (class class class)co 6195   SHcsh 24477    +H cph 24480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468  ax-hilex 24548  ax-hfvadd 24549  ax-hvcom 24550  ax-hvass 24551  ax-hv0cl 24552  ax-hvaddid 24553  ax-hfvmul 24554  ax-hvmulid 24555  ax-hvmulass 24556  ax-hvdistr1 24557  ax-hvdistr2 24558  ax-hvmul0 24559  ax-hfi 24628  ax-his1 24631  ax-his2 24632  ax-his3 24633  ax-his4 24634
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-lm 18960  df-haus 19046  df-grpo 23825  df-gid 23826  df-ginv 23827  df-gdiv 23828  df-ablo 23916  df-vc 24071  df-nv 24117  df-va 24120  df-ba 24121  df-sm 24122  df-0v 24123  df-vs 24124  df-nmcv 24125  df-ims 24126  df-hnorm 24517  df-hvsub 24520  df-hlim 24521  df-sh 24756  df-ch 24771  df-ch0 24803  df-shs 24858
This theorem is referenced by:  shsval3i  24938
  Copyright terms: Public domain W3C validator