HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval2i Structured version   Unicode version

Theorem shsval2i 25981
Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1  |-  A  e.  SH
shlesb1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shsval2i  |-  ( A  +H  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem shsval2i
StepHypRef Expression
1 ssun1 3667 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 ssintub 4300 . . . . 5  |-  ( A  u.  B )  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
31, 2sstri 3513 . . . 4  |-  A  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
4 ssun2 3668 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
54, 2sstri 3513 . . . 4  |-  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
63, 5pm3.2i 455 . . 3  |-  ( A 
C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  /\  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )
7 shlesb1.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
8 shlesb1.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
9 ssrab2 3585 . . . . 5  |-  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  SH
107, 8shscli 25911 . . . . . . 7  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
117, 8shunssi 25962 . . . . . . 7  |-  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
)
12 sseq2 3526 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  +H  B )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  x  <->  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
1312rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +H  B
)  e.  SH  /\  ( A  u.  B
)  C_  ( A  +H  B ) )  ->  E. x  e.  SH  ( A  u.  B
)  C_  x )
1410, 11, 13mp2an 672 . . . . . 6  |-  E. x  e.  SH  ( A  u.  B )  C_  x
15 rabn0 3805 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  SH  | 
( A  u.  B
)  C_  x }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  SH  ( A  u.  B
)  C_  x )
1614, 15mpbir 209 . . . . 5  |-  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  =/=  (/)
17 shintcl 25924 . . . . 5  |-  ( ( { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  SH  /\  {
x  e.  SH  | 
( A  u.  B
)  C_  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  e.  SH )
189, 16, 17mp2an 672 . . . 4  |-  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  e.  SH
197, 8, 18shslubi 25979 . . 3  |-  ( ( A  C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  /\  B  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )  <->  ( A  +H  B )  C_  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x } )
206, 19mpbi 208 . 2  |-  ( A  +H  B )  C_  |^|
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
2112elrab 3261 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  e.  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  <->  ( ( A  +H  B )  e.  SH  /\  ( A  u.  B )  C_  ( A  +H  B
) ) )
2210, 11, 21mpbir2an 918 . . 3  |-  ( A  +H  B )  e. 
{ x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
23 intss1 4297 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  e.  { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  ->  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  ( A  +H  B ) )
2422, 23ax-mp 5 . 2  |-  |^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }  C_  ( A  +H  B )
2520, 24eqssi 3520 1  |-  ( A  +H  B )  = 
|^| { x  e.  SH  |  ( A  u.  B )  C_  x }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   |^|cint 4282  (class class class)co 6282   SHcsh 25521    +H cph 25524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvmulass 25600  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603  ax-hfi 25672  ax-his1 25675  ax-his2 25676  ax-his3 25677  ax-his4 25678
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-lm 19496  df-haus 19582  df-grpo 24869  df-gid 24870  df-ginv 24871  df-gdiv 24872  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-vs 25168  df-nmcv 25169  df-ims 25170  df-hnorm 25561  df-hvsub 25564  df-hlim 25565  df-sh 25800  df-ch 25815  df-ch0 25847  df-shs 25902
This theorem is referenced by:  shsval3i  25982
  Copyright terms: Public domain W3C validator