HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsval Structured version   Unicode version

Theorem shsval 24866
Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 16-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsval  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem shsval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpeq12 4966 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  X.  y
)  =  ( A  X.  B ) )
21imaeq2d 5276 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  (  +h  " (
x  X.  y ) )  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
3 df-shs 24862 . 2  |-  +H  =  ( x  e.  SH ,  y  e.  SH  |->  (  +h  " ( x  X.  y ) ) )
4 hilablo 24713 . . 3  |-  +h  e.  AbelOp
5 imaexg 6624 . . 3  |-  (  +h  e.  AbelOp  ->  (  +h  " ( A  X.  B ) )  e.  _V )
64, 5ax-mp 5 . 2  |-  (  +h  " ( A  X.  B ) )  e. 
_V
72, 3, 6ovmpt2a 6330 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076    X. cxp 4945   "cima 4950  (class class class)co 6199   AbelOpcablo 23919    +h cva 24473   SHcsh 24481    +H cph 24484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-hilex 24552  ax-hfvadd 24553  ax-hvcom 24554  ax-hvass 24555  ax-hv0cl 24556  ax-hvaddid 24557  ax-hfvmul 24558  ax-hvmulid 24559  ax-hvdistr2 24562  ax-hvmul0 24563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-ltxr 9533  df-sub 9707  df-neg 9708  df-grpo 23829  df-ablo 23920  df-hvsub 24524  df-shs 24862
This theorem is referenced by:  shsss  24867  shsel  24868
  Copyright terms: Public domain W3C validator