HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsva Structured version   Unicode version

Theorem shsva 25902
Description: Vector sum belongs to subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsva  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( C  +h  D )  e.  ( A  +H  B
) ) )

Proof of Theorem shsva
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  ( C  +h  D )  =  ( C  +h  D
)
2 rspceov 6314 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  B  /\  ( C  +h  D
)  =  ( C  +h  D ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( C  +h  D
)  =  ( x  +h  y ) )
31, 2mp3an3 1308 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( C  +h  D
)  =  ( x  +h  y ) )
4 shsel 25896 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( ( C  +h  D )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( C  +h  D
)  =  ( x  +h  y ) ) )
53, 4syl5ibr 221 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( ( C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( C  +h  D )  e.  ( A  +H  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2810  (class class class)co 6277    +h cva 25501   SHcsh 25509    +H cph 25512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-hilex 25580  ax-hfvadd 25581  ax-hvcom 25582  ax-hvass 25583  ax-hv0cl 25584  ax-hvaddid 25585  ax-hfvmul 25586  ax-hvmulid 25587  ax-hvdistr2 25590  ax-hvmul0 25591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-sub 9798  df-neg 9799  df-grpo 24857  df-ablo 24948  df-hvsub 25552  df-sh 25788  df-shs 25890
This theorem is referenced by:  shsel1  25903  shsvai  25946  spanpr  26162  chscllem4  26222
  Copyright terms: Public domain W3C validator