Theorem shsumval 10910

Description: Value of subspace sum of two Hilbert space subspaces. Definition of subspace sum in [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
shsumval	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. ~H | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem shsumval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 10501	. . 3 |- ~H e. _V
2	1	rabex 3461	. 2 |- {x e. ~H | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)} e. _V
3		rexeq 2267	. . 3 |- (w = A -> (E.y e. w E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)))
4	3	rabbidv 2287	. 2 |- (w = A -> {x e. ~H | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. ~H | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)})
5		rexeq 2267	. . . 4 |- (v = B -> (E.z e. v x = (y +h z) <-> E.z e. B x = (y +h z)))
6	5	rexbidv 2124	. . 3 |- (v = B -> (E.y e. A E.z e. v x = (y +h z) <-> E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)))
7	6	rabbidv 2287	. 2 |- (v = B -> {x e. ~H | E.y e. A E.z e. v x = (y +h z)} = {x e. ~H | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})
8		df-shsum 10906	. 2 |- +H = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. SH /\ v e. SH) /\ u = {x e. ~H | E.y e. w E.z e. v x = (y +h z)})}
9	2, 4, 7, 8	oprabval2 4957	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {x e. ~H | E.y e. A E.z e. B x = (y +h z)})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  shsel 10911  shscli 10914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain