HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Structured version   Unicode version

Theorem shsubcl 26565
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 26554 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  H  C_ 
~H )
21sseld 3443 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  H  ->  A  e.  ~H ) )
31sseld 3443 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( B  e.  H  ->  B  e.  ~H ) )
42, 3anim12d 563 . . . 4  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  e.  H  /\  B  e.  H
)  ->  ( A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H ) ) )
543impib 1197 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )
)
6 hvsubval 26360 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
8 neg1cn 10682 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
9 shmulcl 26562 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
108, 9mp3an2 1316 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
11103adant2 1018 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
12 shaddcl 26561 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B
) )  e.  H
)
1311, 12syld3an3 1277 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  H )
147, 13eqeltrd 2492 1  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844  (class class class)co 6280   CCcc 9522   1c1 9525   -ucneg 9844   ~Hchil 26263    +h cva 26264    .h csm 26265    -h cmv 26269   SHcsh 26272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-hilex 26343  ax-hfvadd 26344  ax-hfvmul 26349
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-sub 9845  df-neg 9846  df-hvsub 26315  df-sh 26551
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  26621  shuni  26645  shsvs  26668  omlsilem  26747  pjoc1i  26776  chscllem2  26983  sumspansn  26994  spansncvi  26997  pjss2i  27025  pjssmii  27026  pjocini  27043  sumdmdii  27760  cdjreui  27777
  Copyright terms: Public domain W3C validator