HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsubcl Structured version   Unicode version

Theorem shsubcl 25800
Description: Closure of vector subtraction in a subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsubcl  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )

Proof of Theorem shsubcl
StepHypRef Expression
1 shss 25789 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  H  C_ 
~H )
21sseld 3496 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( A  e.  H  ->  A  e.  ~H ) )
31sseld 3496 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( B  e.  H  ->  B  e.  ~H ) )
42, 3anim12d 563 . . . 4  |-  ( H  e.  SH  ->  (
( A  e.  H  /\  B  e.  H
)  ->  ( A  e.  ~H  /\  B  e. 
~H ) ) )
543impib 1189 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )
)
6 hvsubval 25595 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  =  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) ) )
8 neg1cn 10628 . . . . 5  |-  -u 1  e.  CC
9 shmulcl 25797 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
108, 9mp3an2 1307 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
11103adant2 1010 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( -u 1  .h  B )  e.  H
)
12 shaddcl 25796 . . 3  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  ( -u 1  .h  B
)  e.  H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B
) )  e.  H
)
1311, 12syld3an3 1268 . 2  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  +h  ( -u 1  .h  B ) )  e.  H )
147, 13eqeltrd 2548 1  |-  ( ( H  e.  SH  /\  A  e.  H  /\  B  e.  H )  ->  ( A  -h  B
)  e.  H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   CCcc 9479   1c1 9482   -ucneg 9795   ~Hchil 25498    +h cva 25499    .h csm 25500    -h cmv 25504   SHcsh 25507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hfvmul 25584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797  df-hvsub 25550  df-sh 25786
This theorem is referenced by:  hhssmetdval  25856  shuni  25880  shsvs  25903  omlsilem  25982  pjoc1i  26011  chscllem2  26218  sumspansn  26229  spansncvi  26232  pjss2i  26260  pjssmii  26261  pjocini  26278  sumdmdii  26996  cdjreui  27013
  Copyright terms: Public domain W3C validator