HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsss Structured version   Unicode version

Theorem shsss 26631
Description: The subspace sum is a subset of Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsss  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )

Proof of Theorem shsss
StepHypRef Expression
1 shsval 26630 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
2 imassrn 5167 . . 3  |-  (  +h  " ( A  X.  B ) )  C_  ran  +h
3 ax-hfvadd 26317 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
4 frn 5719 . . . 4  |-  (  +h  : ( ~H  X.  ~H ) --> ~H  ->  ran  +h  C_ 
~H )
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ran  +h  C_ 
~H
62, 5sstri 3450 . 2  |-  (  +h  " ( A  X.  B ) )  C_  ~H
71, 6syl6eqss 3491 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    C_ wss 3413    X. cxp 4820   ran crn 4823   "cima 4825   -->wf 5564  (class class class)co 6277   ~Hchil 26236    +h cva 26237   SHcsh 26245    +H cph 26248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-hilex 26316  ax-hfvadd 26317  ax-hvcom 26318  ax-hvass 26319  ax-hv0cl 26320  ax-hvaddid 26321  ax-hfvmul 26322  ax-hvmulid 26323  ax-hvdistr2 26326  ax-hvmul0 26327
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842  df-neg 9843  df-grpo 25593  df-ablo 25684  df-hvsub 26288  df-shs 26626
This theorem is referenced by:  shscli  26635  pjhth  26711  pjpreeq  26716
  Copyright terms: Public domain W3C validator