HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsidmi Structured version   Unicode version

Theorem shsidmi 26444
Description: Idempotent law for Hilbert subspace sum. (Contributed by NM, 6-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shsidm.1  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shsidmi  |-  ( A  +H  A )  =  A

Proof of Theorem shsidmi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shsidm.1 . . . . 5  |-  A  e.  SH
21, 1shseli 26376 . . . 4  |-  ( x  e.  ( A  +H  A )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  A  x  =  ( y  +h  z
) )
3 shaddcl 26276 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( y  +h  z
)  e.  A )
41, 3mp3an1 1309 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( y  +h  z
)  e.  A )
5 eleq1 2468 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  (
x  e.  A  <->  ( y  +h  z )  e.  A
) )
64, 5syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A
) )
76rexlimivv 2893 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  A  x  =  ( y  +h  z )  ->  x  e.  A )
82, 7sylbi 195 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  +H  A )  ->  x  e.  A )
98ssriv 3438 . 2  |-  ( A  +H  A )  C_  A
101, 1shsub1i 26432 . 2  |-  A  C_  ( A  +H  A
)
119, 10eqssi 3450 1  |-  ( A  +H  A )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   E.wrex 2747  (class class class)co 6218    +h cva 25979   SHcsh 25987    +H cph 25990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-hilex 26058  ax-hfvadd 26059  ax-hvcom 26060  ax-hvass 26061  ax-hv0cl 26062  ax-hvaddid 26063  ax-hfvmul 26064  ax-hvmulid 26065  ax-hvdistr2 26068  ax-hvmul0 26069
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-ltxr 9566  df-sub 9742  df-neg 9743  df-grpo 25335  df-ablo 25426  df-hvsub 26030  df-sh 26266  df-shs 26368
This theorem is referenced by:  shslubi  26445
  Copyright terms: Public domain W3C validator