Theorem shsel3 10912

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces, using vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
shsel3	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shsel3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsel 10911	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.z e. B C = (x +h z)))
2		id 73	. . . . . . . 8 |- (C = (x +h z) -> C = (x +h z))
3		hvaddsubval 10534	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ z e. ~H) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
4		shel 10713	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. SH /\ x e. A) -> x e. ~H)
5		shel 10713	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> z e. ~H)
6	3, 4, 5	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. SH /\ x e. A) /\ (B e. SH /\ z e. B)) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
7	6	an4s 566	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (x e. A /\ z e. B)) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
8	7	anassrs 489	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (x +h z) = (x -h (-u1 .h z)))
9	2, 8	sylan9eqr 1951	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x +h z)) -> C = (x -h (-u1 .h z)))
10		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (y = (-u1 .h z) -> (x -h y) = (x -h (-u1 .h z)))
11	10	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (y = (-u1 .h z) -> (C = (x -h y) <-> C = (x -h (-u1 .h z))))
12	11	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h z) e. B /\ C = (x -h (-u1 .h z))) -> E.y e. B C = (x -h y))
13		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
14	13	negcli 6526	. . . . . . . . . . 11 |- -u1 e. CC
15		shmulcl 10720	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ -u1 e. CC /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
16	14, 15	mp3an2 1179	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. SH /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
17	16	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
18	17	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (-u1 .h z) e. B)
19	12, 18	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x -h (-u1 .h z))) -> E.y e. B C = (x -h y))
20	9, 19	syldan 516	. . . . . 6 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) /\ C = (x +h z)) -> E.y e. B C = (x -h y))
21	20	ex 402	. . . . 5 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ z e. B) -> (C = (x +h z) -> E.y e. B C = (x -h y)))
22	21	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.z e. B C = (x +h z) -> E.y e. B C = (x -h y)))
23		id 73	. . . . . . . 8 |- (C = (x -h y) -> C = (x -h y))
24		hvsubval 10518	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
25		shel 10713	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ y e. B) -> y e. ~H)
26	24, 4, 25	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. SH /\ x e. A) /\ (B e. SH /\ y e. B)) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
27	26	an4s 566	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
28	27	anassrs 489	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
29	23, 28	sylan9eqr 1951	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x -h y)) -> C = (x +h (-u1 .h y)))
30		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (z = (-u1 .h y) -> (x +h z) = (x +h (-u1 .h y)))
31	30	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (z = (-u1 .h y) -> (C = (x +h z) <-> C = (x +h (-u1 .h y))))
32	31	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- (((-u1 .h y) e. B /\ C = (x +h (-u1 .h y))) -> E.z e. B C = (x +h z))
33		shmulcl 10720	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. SH /\ -u1 e. CC /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
34	14, 33	mp3an2 1179	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. SH /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
35	34	adantll 428	. . . . . . . . 9 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
36	35	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (-u1 .h y) e. B)
37	32, 36	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x +h (-u1 .h y))) -> E.z e. B C = (x +h z))
38	29, 37	syldan 516	. . . . . 6 |- (((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) /\ C = (x -h y)) -> E.z e. B C = (x +h z))
39	38	ex 402	. . . . 5 |- ((((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) /\ y e. B) -> (C = (x -h y) -> E.z e. B C = (x +h z)))
40	39	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.y e. B C = (x -h y) -> E.z e. B C = (x +h z)))
41	22, 40	impbid 574	. . 3 |- (((A e. SH /\ B e. SH) /\ x e. A) -> (E.z e. B C = (x +h z) <-> E.y e. B C = (x -h y)))
42	41	rexbidva 2120	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.z e. B C = (x +h z) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))
43	1, 42	bitrd 587	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x -h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387  -ucneg 6446  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422   -h cmv 10424  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  pjimai 11748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain