HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Structured version   Unicode version

Theorem shsel 25894
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 25892 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
21eleq2d 2530 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <-> 
C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) ) ) )
3 ax-hfvadd 25579 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
4 ffn 5722 . . . 4  |-  (  +h  : ( ~H  X.  ~H ) --> ~H  ->  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
)
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
6 shss 25789 . . . 4  |-  ( A  e.  SH  ->  A  C_ 
~H )
7 shss 25789 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  B  C_ 
~H )
8 xpss12 5099 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
96, 7, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  X.  B
)  C_  ( ~H  X.  ~H ) )
10 ovelimab 6428 . . 3  |-  ( (  +h  Fn  ( ~H 
X.  ~H )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
115, 9, 10sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
122, 11bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   E.wrex 2808    C_ wss 3469    X. cxp 4990   "cima 4995    Fn wfn 5574   -->wf 5575  (class class class)co 6275   ~Hchil 25498    +h cva 25499   SHcsh 25507    +H cph 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797  df-grpo 24855  df-ablo 24946  df-hvsub 25550  df-sh 25786  df-shs 25888
This theorem is referenced by:  shsel3  25895  shseli  25896  shscom  25899  shsva  25900  shless  25939  pjhth  25973  pjhtheu  25974  pjpreeq  25978  pjpjpre  25999  chscllem4  26220  sumdmdii  26996  sumdmdlem  26999
  Copyright terms: Public domain W3C validator