HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Structured version   Unicode version

Theorem shsel 26104
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 26102 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
21eleq2d 2513 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <-> 
C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) ) ) )
3 ax-hfvadd 25789 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
4 ffn 5721 . . . 4  |-  (  +h  : ( ~H  X.  ~H ) --> ~H  ->  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
)
53, 4ax-mp 5 . . 3  |-  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
6 shss 25999 . . . 4  |-  ( A  e.  SH  ->  A  C_ 
~H )
7 shss 25999 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  B  C_ 
~H )
8 xpss12 5098 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
96, 7, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  X.  B
)  C_  ( ~H  X.  ~H ) )
10 ovelimab 6438 . . 3  |-  ( (  +h  Fn  ( ~H 
X.  ~H )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
115, 9, 10sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
122, 11bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794    C_ wss 3461    X. cxp 4987   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574  (class class class)co 6281   ~Hchil 25708    +h cva 25709   SHcsh 25717    +H cph 25720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-hilex 25788  ax-hfvadd 25789  ax-hvcom 25790  ax-hvass 25791  ax-hv0cl 25792  ax-hvaddid 25793  ax-hfvmul 25794  ax-hvmulid 25795  ax-hvdistr2 25798  ax-hvmul0 25799
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813  df-grpo 25065  df-ablo 25156  df-hvsub 25760  df-sh 25996  df-shs 26098
This theorem is referenced by:  shsel3  26105  shseli  26106  shscom  26109  shsva  26110  shless  26149  pjhth  26183  pjhtheu  26184  pjpreeq  26188  pjpjpre  26209  chscllem4  26430  sumdmdii  27206  sumdmdlem  27209
  Copyright terms: Public domain W3C validator