Theorem shsel 10911

Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shsel	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem shsel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shsumval 10910	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A +H B) = {z e. ~H | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)})
2	1	eleq2d 1964	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> C e. {z e. ~H | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)}))
3		eqeq1 1890	. . . . 5 |- (z = C -> (z = (x +h y) <-> C = (x +h y)))
4	3	2rexbidv 2141	. . . 4 |- (z = C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +h y) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
5	4	elrab 2414	. . 3 |- (C e. {z e. ~H | E.x e. A E.y e. B z = (x +h y)} <-> (C e. ~H /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))
6	2, 5	syl6bb 595	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> (C e. ~H /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
7		shss 10712	. . . . . . 7 |- (A e. SH -> A C_ ~H)
8	7	sseld 2619	. . . . . 6 |- (A e. SH -> (x e. A -> x e. ~H))
9		shss 10712	. . . . . . 7 |- (B e. SH -> B C_ ~H)
10	9	sseld 2619	. . . . . 6 |- (B e. SH -> (y e. B -> y e. ~H))
11	8, 10	im2anan9 622	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (x e. ~H /\ y e. ~H)))
12		hvaddcl 10514	. . . . . 6 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (x +h y) e. ~H)
13		eleq1a 1966	. . . . . 6 |- ((x +h y) e. ~H -> (C = (x +h y) -> C e. ~H))
14	12, 13	syl 12	. . . . 5 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (C = (x +h y) -> C e. ~H))
15	11, 14	syl6 25	. . . 4 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (C = (x +h y) -> C e. ~H)))
16	15	r19.23advv 2218	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) -> C e. ~H))
17	16	pm4.71rd 701	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (E.x e. A E.y e. B C = (x +h y) <-> (C e. ~H /\ E.x e. A E.y e. B C = (x +h y))))
18	6, 17	bitr4d 590	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (C e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B C = (x +h y)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  shsel3 10912  shseli 10913  shscom 10916  shsva 10917  sumdmdii 11987  sumdmdlem 11990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-sh 10709  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain