HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shsel Unicode version

Theorem shsel 22769
Description: Membership in the subspace sum of two Hilbert subspaces. (Contributed by NM, 14-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shsel  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y

Proof of Theorem shsel
StepHypRef Expression
1 shsval 22767 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  (  +h  " ( A  X.  B ) ) )
21eleq2d 2471 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <-> 
C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) ) ) )
3 ax-hfvadd 22456 . . . 4  |-  +h  :
( ~H  X.  ~H )
--> ~H
4 ffn 5550 . . . 4  |-  (  +h  : ( ~H  X.  ~H ) --> ~H  ->  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
)
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  +h  Fn  ( ~H  X.  ~H )
6 shss 22665 . . . 4  |-  ( A  e.  SH  ->  A  C_ 
~H )
7 shss 22665 . . . 4  |-  ( B  e.  SH  ->  B  C_ 
~H )
8 xpss12 4940 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ~H  /\  B  C_ 
~H )  ->  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)
96, 7, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  X.  B
)  C_  ( ~H  X.  ~H ) )
10 ovelimab 6183 . . 3  |-  ( (  +h  Fn  ( ~H 
X.  ~H )  /\  ( A  X.  B )  C_  ( ~H  X.  ~H )
)  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
115, 9, 10sylancr 645 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  (  +h  " ( A  X.  B ) )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
122, 11bitrd 245 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( C  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  C  =  ( x  +h  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280    X. cxp 4835   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409  (class class class)co 6040   ~Hchil 22375    +h cva 22376   SHcsh 22384    +H cph 22387
This theorem is referenced by:  shsel3  22770  shseli  22771  shscom  22774  shsva  22775  shless  22814  pjhth  22848  pjhtheu  22849  pjpreeq  22853  pjpjpre  22874  chscllem4  23095  sumdmdii  23871  sumdmdlem  23874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-grpo 21732  df-ablo 21823  df-hvsub 22427  df-sh 22662  df-shs 22763
  Copyright terms: Public domain W3C validator