HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscom Structured version   Unicode version

Theorem shscom 26068
Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscom  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )

Proof of Theorem shscom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shel 25959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ~H )
2 shel 25959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  SH  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ~H )
31, 2anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  /\  ( B  e.  SH  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
43an4s 824 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
5 ax-hvcom 25749 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
76eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  <-> 
x  =  ( z  +h  y ) ) )
872rexbidva 2984 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( z  +h  y ) ) )
9 rexcom 3028 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( z  +h  y )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y
) )
108, 9syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y ) ) )
11 shsel 26063 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) ) )
12 shsel 26063 . . . 4  |-  ( ( B  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( B  +H  A )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y ) ) )
1312ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( B  +H  A )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y ) ) )
1410, 11, 133bitr4d 285 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( A  +H  B )  <-> 
x  e.  ( B  +H  A ) ) )
1514eqrdv 2464 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818  (class class class)co 6295   ~Hchil 25667    +h cva 25668   SHcsh 25676    +H cph 25679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-hilex 25747  ax-hfvadd 25748  ax-hvcom 25749  ax-hvass 25750  ax-hv0cl 25751  ax-hvaddid 25752  ax-hfvmul 25753  ax-hvmulid 25754  ax-hvdistr2 25757  ax-hvmul0 25758
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-neg 9820  df-grpo 25024  df-ablo 25115  df-hvsub 25719  df-sh 25955  df-shs 26057
This theorem is referenced by:  shsel2  26071  shsub2  26074  shscomi  26112  pjpjpre  26168  chscllem1  26386  chscllem2  26387  chscllem3  26388  chscllem4  26389
  Copyright terms: Public domain W3C validator