HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscom Structured version   Unicode version

Theorem shscom 24734
Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscom  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )

Proof of Theorem shscom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shel 24625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ~H )
2 shel 24625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  SH  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ~H )
31, 2anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  /\  ( B  e.  SH  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
43an4s 822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )
)
5 ax-hvcom 24415 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
64, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
76eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  -> 
( x  =  ( y  +h  z )  <-> 
x  =  ( z  +h  y ) ) )
872rexbidva 2768 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( z  +h  y ) ) )
9 rexcom 2894 . . . 4  |-  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( z  +h  y )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y
) )
108, 9syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y ) ) )
11 shsel 24729 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. y  e.  A  E. z  e.  B  x  =  ( y  +h  z ) ) )
12 shsel 24729 . . . 4  |-  ( ( B  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( B  +H  A )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y ) ) )
1312ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( B  +H  A )  <->  E. z  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( z  +h  y ) ) )
1410, 11, 133bitr4d 285 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( x  e.  ( A  +H  B )  <-> 
x  e.  ( B  +H  A ) ) )
1514eqrdv 2441 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( B  +H  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2728  (class class class)co 6103   ~Hchil 24333    +h cva 24334   SHcsh 24342    +H cph 24345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-ltxr 9435  df-sub 9609  df-neg 9610  df-grpo 23690  df-ablo 23781  df-hvsub 24385  df-sh 24621  df-shs 24723
This theorem is referenced by:  shsel2  24737  shsub2  24740  shscomi  24778  pjpjpre  24834  chscllem1  25052  chscllem2  25053  chscllem3  25054  chscllem4  25055
  Copyright terms: Public domain W3C validator