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Theorem shscli 26058
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1  |-  A  e.  SH
shscl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shscli  |-  ( A  +H  B )  e.  SH

Proof of Theorem shscli
Dummy variables  x  f  y  z  w  g  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
2 shscl.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
3 shsss 26054 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  C_  ~H )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ~H
5 sh0 25956 . . . . . 6  |-  ( A  e.  SH  ->  0h  e.  A )
61, 5ax-mp 5 . . . . 5  |-  0h  e.  A
7 sh0 25956 . . . . . 6  |-  ( B  e.  SH  ->  0h  e.  B )
82, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  0h  e.  B
9 ax-hv0cl 25743 . . . . . . 7  |-  0h  e.  ~H
109hvaddid2i 25769 . . . . . 6  |-  ( 0h 
+h  0h )  =  0h
1110eqcomi 2480 . . . . 5  |-  0h  =  ( 0h  +h  0h )
12 rspceov 6332 . . . . 5  |-  ( ( 0h  e.  A  /\  0h  e.  B  /\  0h  =  ( 0h  +h  0h ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
) )
136, 8, 11, 12mp3an 1324 . . . 4  |-  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
)
141, 2shseli 26057 . . . 4  |-  ( 0h  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  0h  =  ( x  +h  y
) )
1513, 14mpbir 209 . . 3  |-  0h  e.  ( A  +H  B
)
164, 15pm3.2i 455 . 2  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  ~H  /\  0h  e.  ( A  +H  B
) )
171, 2shseli 26057 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  +H  B )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w
) )
181, 2shseli 26057 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  +H  B )  <->  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u
) )
19 shaddcl 25957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  SH  /\  z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  +h  v
)  e.  A )
201, 19mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  +h  v
)  e.  A )
2120ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( z  +h  v
)  e.  A )
2221ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( z  +h  v )  e.  A
)
23 shaddcl 25957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  SH  /\  w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  +h  u
)  e.  B )
242, 23mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  +h  u
)  e.  B )
2524ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( w  +h  u
)  e.  B )
2625ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( w  +h  u )  e.  B
)
27 oveq12 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  ( z  +h  w )  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  -> 
( x  +h  y
)  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
2827ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( ( z  +h  w
)  +h  ( v  +h  u ) ) )
291sheli 25954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ~H )
301sheli 25954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  A  ->  v  e.  ~H )
3129, 30anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( z  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )
)
322sheli 25954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  ~H )
332sheli 25954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  B  ->  u  e.  ~H )
3432, 33anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  B  /\  u  e.  B )  ->  ( w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )
)
35 hvadd4 25776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  ~H )  /\  ( w  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )
)  ->  ( (
z  +h  v )  +h  ( w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  (
v  +h  u ) ) )
3631, 34, 35syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( w  e.  B  /\  u  e.  B ) )  -> 
( ( z  +h  v )  +h  (
w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
3736an4s 824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B ) )  -> 
( ( z  +h  v )  +h  (
w  +h  u ) )  =  ( ( z  +h  w )  +h  ( v  +h  u ) ) )
3837ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( ( z  +h  v )  +h  ( w  +h  u
) )  =  ( ( z  +h  w
)  +h  ( v  +h  u ) ) )
3928, 38eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  ( x  +h  y )  =  ( ( z  +h  v
)  +h  ( w  +h  u ) ) )
40 rspceov 6332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  +h  v
)  e.  A  /\  ( w  +h  u
)  e.  B  /\  ( x  +h  y
)  =  ( ( z  +h  v )  +h  ( w  +h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4122, 26, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) )  /\  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4241ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  /\  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  /\  x  =  ( z  +h  w ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4342exp43 612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  (
x  =  ( z  +h  w )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) ) ) ) )
4443rexlimivv 2964 . . . . . . . . 9  |-  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  (
( z  e.  A  /\  w  e.  B
)  ->  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
4544com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  ( x  =  ( z  +h  w )  ->  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u
)  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
4645rexlimivv 2964 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w )  ->  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) ) )
4746imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  x  =  ( z  +h  w )  /\  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
4817, 18, 47syl2anb 479 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  +H  B )  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
491, 2shseli 26057 . . . . 5  |-  ( ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  +h  y )  =  ( f  +h  g ) )
5048, 49sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  +H  B )  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
( x  +h  y
)  e.  ( A  +H  B ) )
5150rgen2a 2894 . . 3  |-  A. x  e.  ( A  +H  B
) A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )
52 shmulcl 25958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  v  e.  A )  ->  (
x  .h  v )  e.  A )
531, 52mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  A )  ->  ( x  .h  v
)  e.  A )
5453adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  v
)  e.  A )
55 shmulcl 25958 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  SH  /\  x  e.  CC  /\  u  e.  B )  ->  (
x  .h  u )  e.  B )
562, 55mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  B )  ->  ( x  .h  u
)  e.  B )
5756adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) )  ->  (
x  .h  u )  e.  B )
5857adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  u
)  e.  B )
59 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  (
x  .h  y )  =  ( x  .h  ( v  +h  u
) ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  B  /\  y  =  ( v  +h  u ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( x  .h  ( v  +h  u ) ) )
6160ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( x  .h  ( v  +h  u ) ) )
62 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
63 ax-hvdistr1 25748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  ~H  /\  u  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u
) ) )
6462, 30, 33, 63syl3an 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( x  .h  (
v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
65643expb 1197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  u  e.  B
) )  ->  (
x  .h  ( v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u
) ) )
6665adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  (
v  +h  u ) )  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
6761, 66eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  -> 
( x  .h  y
)  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )
68 rspceov 6332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  v
)  e.  A  /\  ( x  .h  u
)  e.  B  /\  ( x  .h  y
)  =  ( ( x  .h  v )  +h  ( x  .h  u ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
6954, 58, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
7069ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( v  e.  A  /\  ( u  e.  B  /\  y  =  (
v  +h  u ) ) )  /\  x  e.  CC )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) )
7170exp42 611 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  (
u  e.  B  -> 
( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) ) )
7271imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  A  /\  u  e.  B )  ->  ( y  =  ( v  +h  u )  ->  ( x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) ) )
7372rexlimivv 2964 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u )  ->  (
x  e.  CC  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  (
x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) ) )
7473impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  E. v  e.  A  E. u  e.  B  y  =  ( v  +h  u ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
7518, 74sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y
)  =  ( f  +h  g ) )
761, 2shseli 26057 . . . . 5  |-  ( ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B )  <->  E. f  e.  A  E. g  e.  B  ( x  .h  y )  =  ( f  +h  g ) )
7775, 76sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( A  +H  B ) )  -> 
( x  .h  y
)  e.  ( A  +H  B ) )
7877rgen2 2892 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B )
7951, 78pm3.2i 455 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  +H  B ) A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B ) )
80 issh2 25949 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  e.  SH  <->  ( (
( A  +H  B
)  C_  ~H  /\  0h  e.  ( A  +H  B
) )  /\  ( A. x  e.  ( A  +H  B ) A. y  e.  ( A  +H  B ) ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  B
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  ( A  +H  B
) ( x  .h  y )  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
8116, 79, 80mpbir2an 918 1  |-  ( A  +H  B )  e.  SH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481  (class class class)co 6295   CCcc 9502   ~Hchil 25659    +h cva 25660    .h csm 25661   0hc0v 25664   SHcsh 25668    +H cph 25671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-neg 9820  df-grpo 25016  df-ablo 25107  df-hvsub 25711  df-sh 25947  df-shs 26049
This theorem is referenced by:  shscl  26059  shsval2i  26128  shjshsi  26233  spanuni  26285  5oalem1  26395  5oalem3  26397  5oalem5  26399  5oalem6  26400  5oai  26402  3oalem2  26404  3oalem6  26408  mayete3i  26469  mayete3iOLD  26470  sumdmdlem  27160
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