HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscl Structured version   Unicode version

Theorem shscl 25898
Description: Closure of subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscl  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )

Proof of Theorem shscl
StepHypRef Expression
1 oveq1 6282 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  ->  ( A  +H  B )  =  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B
) )
21eleq1d 2529 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  ->  (
( A  +H  B
)  e.  SH  <->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B )  e.  SH ) )
3 oveq2 6283 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  ->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B )  =  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )
) )
43eleq1d 2529 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  ->  (
( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  B
)  e.  SH  <->  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H ) )  e.  SH ) )
5 helsh 25825 . . . 4  |-  ~H  e.  SH
65elimel 3995 . . 3  |-  if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  e.  SH
75elimel 3995 . . 3  |-  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H )  e.  SH
86, 7shscli 25897 . 2  |-  ( if ( A  e.  SH ,  A ,  ~H )  +H  if ( B  e.  SH ,  B ,  ~H ) )  e.  SH
92, 4, 8dedth2h 3985 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  +H  B
)  e.  SH )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ifcif 3932  (class class class)co 6275   ~Hchil 25498   SHcsh 25507    +H cph 25510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-hilex 25578  ax-hfvadd 25579  ax-hvcom 25580  ax-hvass 25581  ax-hv0cl 25582  ax-hvaddid 25583  ax-hfvmul 25584  ax-hvmulid 25585  ax-hvdistr1 25587  ax-hvdistr2 25588  ax-hvmul0 25589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-grpo 24855  df-ablo 24946  df-hvsub 25550  df-hlim 25551  df-sh 25786  df-ch 25801  df-shs 25888
This theorem is referenced by:  shsvs  25903  spanpr  26160  chscllem2  26218  chscl  26221
  Copyright terms: Public domain W3C validator