HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shs00i Structured version   Unicode version

Theorem shs00i 26041
Description: Two subspaces are zero iff their join is zero. (Contributed by NM, 7-Aug-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shne0.1  |-  A  e.  SH
shs00.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shs00i  |-  ( ( A  =  0H  /\  B  =  0H )  <->  ( A  +H  B )  =  0H )

Proof of Theorem shs00i
StepHypRef Expression
1 oveq12 6291 . . 3  |-  ( ( A  =  0H  /\  B  =  0H )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( 0H 
+H  0H ) )
2 h0elsh 25847 . . . 4  |-  0H  e.  SH
32shs0i 26040 . . 3  |-  ( 0H 
+H  0H )  =  0H
41, 3syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( A  =  0H  /\  B  =  0H )  ->  ( A  +H  B
)  =  0H )
5 shne0.1 . . . . . 6  |-  A  e.  SH
6 shs00.2 . . . . . 6  |-  B  e.  SH
75, 6shsub1i 25963 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  +H  B
)
8 sseq2 3526 . . . . 5  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  ( A  C_  ( A  +H  B )  <->  A  C_  0H ) )
97, 8mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  A  C_  0H )
10 shle0 26033 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( A  C_  0H  <->  A  =  0H ) )
115, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A 
C_  0H  <->  A  =  0H )
129, 11sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  A  =  0H )
136, 5shsub2i 25964 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
14 sseq2 3526 . . . . 5  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  ( B  C_  ( A  +H  B )  <->  B  C_  0H ) )
1513, 14mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  B  C_  0H )
16 shle0 26033 . . . . 5  |-  ( B  e.  SH  ->  ( B  C_  0H  <->  B  =  0H ) )
176, 16ax-mp 5 . . . 4  |-  ( B 
C_  0H  <->  B  =  0H )
1815, 17sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  B  =  0H )
1912, 18jca 532 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  0H  ->  ( A  =  0H  /\  B  =  0H ) )
204, 19impbii 188 1  |-  ( ( A  =  0H  /\  B  =  0H )  <->  ( A  +H  B )  =  0H )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476  (class class class)co 6282   SHcsh 25518    +H cph 25521   0Hc0h 25525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568  ax-hilex 25589  ax-hfvadd 25590  ax-hvcom 25591  ax-hvass 25592  ax-hv0cl 25593  ax-hvaddid 25594  ax-hfvmul 25595  ax-hvmulid 25596  ax-hvmulass 25597  ax-hvdistr1 25598  ax-hvdistr2 25599  ax-hvmul0 25600  ax-hfi 25669  ax-his1 25672  ax-his2 25673  ax-his3 25674  ax-his4 25675
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-icc 11532  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-lm 19493  df-haus 19579  df-grpo 24866  df-gid 24867  df-ginv 24868  df-gdiv 24869  df-ablo 24957  df-vc 25112  df-nv 25158  df-va 25161  df-ba 25162  df-sm 25163  df-0v 25164  df-vs 25165  df-nmcv 25166  df-ims 25167  df-hnorm 25558  df-hvsub 25561  df-hlim 25562  df-sh 25797  df-ch 25812  df-ch0 25844  df-shs 25899  df-span 25900
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator