Theorem shorth 10801

Description: Members of orthogonal subspaces are orthogonal.

Assertion

Ref	Expression
shorth	|- (H e. SH -> (G C_ (_|_` H) -> ((A e. G /\ B e. H) -> (A .ih B) = 0)))

Proof of Theorem shorth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shocorth 10798	. . . . 5 |- (H e. SH -> ((B e. H /\ A e. (_|_` H)) -> (B .ih A) = 0))
2	1	imp 377	. . . 4 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> (B .ih A) = 0)
3		shss 10712	. . . . . . . 8 |- (H e. SH -> H C_ ~H)
4	3	sseld 2619	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> (B e. H -> B e. ~H))
5		shocss 10792	. . . . . . . 8 |- (H e. SH -> (_|_` H) C_ ~H)
6	5	sseld 2619	. . . . . . 7 |- (H e. SH -> (A e. (_|_` H) -> A e. ~H))
7	4, 6	anim12d 617	. . . . . 6 |- (H e. SH -> ((B e. H /\ A e. (_|_` H)) -> (B e. ~H /\ A e. ~H)))
8	7	imp 377	. . . . 5 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> (B e. ~H /\ A e. ~H))
9		orthcom 10607	. . . . 5 |- ((B e. ~H /\ A e. ~H) -> ((B .ih A) = 0 <-> (A .ih B) = 0))
10	8, 9	syl 12	. . . 4 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> ((B .ih A) = 0 <-> (A .ih B) = 0))
11	2, 10	mpbid 212	. . 3 |- ((H e. SH /\ (B e. H /\ A e. (_|_` H))) -> (A .ih B) = 0)
12		ssel 2615	. . . . . 6 |- (G C_ (_|_` H) -> (A e. G -> A e. (_|_` H)))
13	12	anim1d 619	. . . . 5 |- (G C_ (_|_` H) -> ((A e. G /\ B e. H) -> (A e. (_|_` H) /\ B e. H)))
14	13	imp 377	. . . 4 |- ((G C_ (_|_` H) /\ (A e. G /\ B e. H)) -> (A e. (_|_` H) /\ B e. H))
15		ancom 482	. . . 4 |- ((A e. (_|_` H) /\ B e. H) <-> (B e. H /\ A e. (_|_` H)))
16	14, 15	sylib 215	. . 3 |- ((G C_ (_|_` H) /\ (A e. G /\ B e. H)) -> (B e. H /\ A e. (_|_` H)))
17	11, 16	sylan2 500	. 2 |- ((H e. SH /\ (G C_ (_|_` H) /\ (A e. G /\ B e. H))) -> (A .ih B) = 0)
18	17	exp32 408	1 |- (H e. SH -> (G C_ (_|_` H) -> ((A e. G /\ B e. H) -> (A .ih B) = 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  SHcsh 10429  _|_cort 10431

This theorem is referenced by:  pjoi0 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hv0cl 10505  ax-hfvmul 10507  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-sh 10709  df-oc 10757

Copyright terms: Public domain