Theorem shocel 10788

Description: Membership in orthogonal complement of H subspace.

Assertion

Ref	Expression
shocel	|- (H e. SH -> (A e. (_|_` H) <-> (A e. ~H /\ A.x e. H (A .ih x) = 0)))

Distinct variable groups:   x,H   x,A

Proof of Theorem shocel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shss 10712	. 2 |- (H e. SH -> H C_ ~H)
2		ocel 10787	. 2 |- (H C_ ~H -> (A e. (_|_` H) <-> (A e. ~H /\ A.x e. H (A .ih x) = 0)))
3	1, 2	syl 12	1 |- (H e. SH -> (A e. (_|_` H) <-> (A e. ~H /\ A.x e. H (A .ih x) = 0)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   C_ wss 2593  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  0cc0 6386  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  SHcsh 10429  _|_cort 10431

This theorem is referenced by:  ocin 10802  pjthlem14 10865  choc0 10923  choc1 10924  pjclem4 11772  pj3si 11780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-sh 10709  df-oc 10757

Copyright terms: Public domain