Theorem shmodsi 27090

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	|- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3628	. . 3 |- ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) <-> ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) )
2		shmod.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
3		shmod.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
4	2, 3	shseli 27017	. . . . . 6 |- ( z e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) )
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
6	5	sheli 26915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. C -> z e. ~H )
7	2	sheli 26915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	3	sheli 26915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9		hvsubadd 26778	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ~H /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
11		eqcom 2468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +h y ) = z <-> z = ( x +h y ) )
12	10, 11	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
13	12	3expb 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
14	5, 2	shsvsi 27068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( C +H A ) )
15	5, 2	shscomi 27064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C +H A ) = ( A +H C )
16	14, 15	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( A +H C ) )
17	2, 5	shlesb1i 27087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ C <-> ( A +H C ) = C )
18	17	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ C -> ( A +H C ) = C )
19	18	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) e. ( A +H C ) <-> ( z -h x ) e. C ) )
20	16, 19	syl5ib 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A C_ C -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. C ) )
21		eleq1 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C <-> y e. C ) )
22	21	biimpd 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C -> y e. C ) )
23	20, 22	sylan9 667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> y e. C ) )
24	23	anim2d 573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( y e. B /\ y e. C ) ) )
25		elin 3628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
26	24, 25	syl6ibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) )
27	26	ex 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) = y -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
28	27	com13 83	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
29	28	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
30	29	anasss 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
31	13, 30	sylbird 243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
32	31	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) )
33	3, 5	shincli 27063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i C ) e. SH
34	2, 33	shsvai 27065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) )
35		eleq1 2527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x +h y ) -> ( z e. ( A +H ( B i^i C ) ) <-> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
36	34, 35	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x +h y ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
37	36	expd 442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x +h y ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
38	37	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
39	38	ad2antrl 739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
40	39	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
41	32, 40	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
42	41	exp31 613	. . . . . . 7 |- ( z e. C -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2896	. . . . . 6 |- ( z e. C -> ( E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
44	4, 43	syl5bi 225	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
45	44	com13 83	. . . 4 |- ( A C_ C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( z e. C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
46	45	impd 437	. . 3 |- ( A C_ C -> ( ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
47	1, 46	syl5bi 225	. 2 |- ( A C_ C -> ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
48	47	ssrdv 3449	1 |- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   E.wrex 2749   i^i cin 3414   C_ wss 3415  (class class class)co 6314   ~Hchil 26620   +h cva 26621   -h cmv 26626   SHcsh 26629   +H cph 26632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-hilex 26700  ax-hfvadd 26701  ax-hvcom 26702  ax-hvass 26703  ax-hv0cl 26704  ax-hvaddid 26705  ax-hfvmul 26706  ax-hvmulid 26707  ax-hvdistr1 26709  ax-hvdistr2 26710  ax-hvmul0 26711

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-ltxr 9705  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-grpo 25967  df-ablo 26058  df-hvsub 26672  df-hlim 26673  df-sh 26908  df-ch 26922  df-shs 27009

This theorem is referenced by:  shmodi  27091