Theorem shmodsi 10995

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70.

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	|- (A C_ C -> ((A +H B) i^i C) C_ (A +H (B i^i C)))

Proof of Theorem shmodsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubadd 10577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. ~H /\ x e. ~H /\ y e. ~H) -> ((z -h x) = y <-> (x +h y) = z))
2		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
3	2	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. C -> z e. ~H)
4		shmod.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. SH
5	4	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. A -> x e. ~H)
6		shmod.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. SH
7	6	sheli 10715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. B -> y e. ~H)
8	1, 3, 5, 7	syl3an 1139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. C /\ x e. A /\ y e. B) -> ((z -h x) = y <-> (x +h y) = z))
9		eqcom 1886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x +h y) = z <-> z = (x +h y))
10	8, 9	syl6bb 595	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. C /\ x e. A /\ y e. B) -> ((z -h x) = y <-> z = (x +h y)))
11	10	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((z -h x) = y <-> z = (x +h y)))
12	4, 2	shlesb1i 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A C_ C <-> (A +H C) = C)
13	12	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A C_ C -> (A +H C) = C)
14	13	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A C_ C -> ((z -h x) e. (A +H C) <-> (z -h x) e. C))
15	2, 4	shsvsi 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((z e. C /\ x e. A) -> (z -h x) e. (C +H A))
16	2, 4	shscomi 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (C +H A) = (A +H C)
17	15, 16	syl6eleq 1981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. C /\ x e. A) -> (z -h x) e. (A +H C))
18	14, 17	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A C_ C -> ((z e. C /\ x e. A) -> (z -h x) e. C))
19		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z -h x) = y -> ((z -h x) e. C <-> y e. C))
20	19	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z -h x) = y -> ((z -h x) e. C -> y e. C))
21	18, 20	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A C_ C /\ (z -h x) = y) -> ((z e. C /\ x e. A) -> y e. C))
22	21	anim2d 620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ C /\ (z -h x) = y) -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> (y e. B /\ y e. C)))
23		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. (B i^i C) <-> (y e. B /\ y e. C))
24	22, 23	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A C_ C /\ (z -h x) = y) -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> y e. (B i^i C)))
25	24	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A C_ C -> ((z -h x) = y -> ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> y e. (B i^i C))))
26	25	com13 37	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. B /\ (z e. C /\ x e. A)) -> ((z -h x) = y -> (A C_ C -> y e. (B i^i C))))
27	26	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- (((z e. C /\ x e. A) /\ y e. B) -> ((z -h x) = y -> (A C_ C -> y e. (B i^i C))))
28	27	anasss 488	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> ((z -h x) = y -> (A C_ C -> y e. (B i^i C))))
29	11, 28	sylbird 222	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (z = (x +h y) -> (A C_ C -> y e. (B i^i C))))
30	29	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +h y)) -> (A C_ C -> y e. (B i^i C)))
31		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (x +h y) -> (z e. (A +H (B i^i C)) <-> (x +h y) e. (A +H (B i^i C))))
32	6, 2	shincli 10964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B i^i C) e. SH
33	4, 32	shsvai 10966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. A /\ y e. (B i^i C)) -> (x +h y) e. (A +H (B i^i C)))
34	31, 33	syl5bir 227	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (x +h y) -> ((x e. A /\ y e. (B i^i C)) -> z e. (A +H (B i^i C))))
35	34	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (x +h y) -> (x e. A -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
36	35	com12 14	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (z = (x +h y) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
37	36	ad2antrl 442	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (z = (x +h y) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C)))))
38	37	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +h y)) -> (y e. (B i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
39	30, 38	syld 30	. . . . . . . 8 |- (((z e. C /\ (x e. A /\ y e. B)) /\ z = (x +h y)) -> (A C_ C -> z e. (A +H (B i^i C))))
40	39	exp31 407	. . . . . . 7 |- (z e. C -> ((x e. A /\ y e. B) -> (z = (x +h y) -> (A C_ C -> z e. (A +H (B i^i C))))))
41	40	r19.23advv 2218	. . . . . 6 |- (z e. C -> (E.x e. A E.y e. B z = (x +h y) -> (A C_ C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
42	4, 6	shseli 10913	. . . . . 6 |- (z e. (A +H B) <-> E.x e. A E.y e. B z = (x +h y))
43	41, 42	syl5ib 223	. . . . 5 |- (z e. C -> (z e. (A +H B) -> (A C_ C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
44	43	com13 37	. . . 4 |- (A C_ C -> (z e. (A +H B) -> (z e. C -> z e. (A +H (B i^i C)))))
45	44	imp3a 388	. . 3 |- (A C_ C -> ((z e. (A +H B) /\ z e. C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
46		elin 2786	. . 3 |- (z e. ((A +H B) i^i C) <-> (z e. (A +H B) /\ z e. C))
47	45, 46	syl5ib 223	. 2 |- (A C_ C -> (z e. ((A +H B) i^i C) -> z e. (A +H (B i^i C))))
48	47	ssrdv 2622	1 |- (A C_ C -> ((A +H B) i^i C) C_ (A +H (B i^i C)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   +h cva 10421   -h cmv 10424  SHcsh 10429   +H cph 10432

This theorem is referenced by:  shmodi 10996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-hvsub 10472  df-sh 10709  df-shsum 10906

Copyright terms: Public domain