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Theorem shmodsi 24937
Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1  |-  A  e.  SH
shmod.2  |-  B  e.  SH
shmod.3  |-  C  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shmodsi  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( A  +H  B
)  i^i  C )  C_  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3640 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  +H  B )  i^i 
C )  <->  ( z  e.  ( A  +H  B
)  /\  z  e.  C ) )
2 shmod.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
3 shmod.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
42, 3shseli 24864 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  ( x  +h  y
) )
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  e.  SH
65sheli 24761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  C  ->  z  e.  ~H )
72sheli 24761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
83sheli 24761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ~H )
9 hvsubadd 24624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  <->  ( x  +h  y )  =  z ) )
106, 7, 8, 9syl3an 1261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  -h  x )  =  y  <-> 
( x  +h  y
)  =  z ) )
11 eqcom 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +h  y )  =  z  <->  z  =  ( x  +h  y
) )
1210, 11syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  -h  x )  =  y  <-> 
z  =  ( x  +h  y ) ) )
13123expb 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  <->  z  =  ( x  +h  y
) ) )
145, 2shsvsi 24915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  -h  x
)  e.  ( C  +H  A ) )
155, 2shscomi 24911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  +H  A )  =  ( A  +H  C
)
1614, 15syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  -h  x
)  e.  ( A  +H  C ) )
172, 5shlesb1i 24934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  C  <->  ( A  +H  C )  =  C )
1817biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  C  ->  ( A  +H  C )  =  C )
1918eleq2d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  -h  x
)  e.  ( A  +H  C )  <->  ( z  -h  x )  e.  C
) )
2016, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  e.  C  /\  x  e.  A
)  ->  ( z  -h  x )  e.  C
) )
21 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  -h  x )  =  y  ->  (
( z  -h  x
)  e.  C  <->  y  e.  C ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  -h  x )  =  y  ->  (
( z  -h  x
)  e.  C  -> 
y  e.  C ) )
2320, 22sylan9 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  C ) )
2423anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( y  e.  B  /\  (
z  e.  C  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
25 elin 3640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  C ) )
2624, 25syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( y  e.  B  /\  (
z  e.  C  /\  x  e.  A )
)  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  C  /\  x  e.  A ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
2827com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  C  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3029anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3113, 30sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
333, 5shincli 24910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  C )  e.  SH
342, 33shsvai 24912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  -> 
( x  +h  y
)  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )
35 eleq1 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) )  <->  ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
3634, 35syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
3736expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
3837com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4039imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4132, 40syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4241exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  C  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  ( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2946 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  ( x  +h  y )  ->  ( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
444, 43syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
z  e.  ( A  +H  B )  -> 
( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4544com13 80 . . . 4  |-  ( A 
C_  C  ->  (
z  e.  ( A  +H  B )  -> 
( z  e.  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4645impd 431 . . 3  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  e.  ( A  +H  B )  /\  z  e.  C
)  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
471, 46syl5bi 217 . 2  |-  ( A 
C_  C  ->  (
z  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  C )  -> 
z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4847ssrdv 3463 1  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( A  +H  B
)  i^i  C )  C_  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796    i^i cin 3428    C_ wss 3429  (class class class)co 6193   ~Hchil 24466    +h cva 24467    -h cmv 24472   SHcsh 24475    +H cph 24478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-grpo 23823  df-ablo 23914  df-hvsub 24518  df-hlim 24519  df-sh 24754  df-ch 24769  df-shs 24856
This theorem is referenced by:  shmodi  24938
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