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Theorem shmodsi 24743
Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shmod.1  |-  A  e.  SH
shmod.2  |-  B  e.  SH
shmod.3  |-  C  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shmodsi  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( A  +H  B
)  i^i  C )  C_  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3534 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A  +H  B )  i^i 
C )  <->  ( z  e.  ( A  +H  B
)  /\  z  e.  C ) )
2 shmod.1 . . . . . . 7  |-  A  e.  SH
3 shmod.2 . . . . . . 7  |-  B  e.  SH
42, 3shseli 24670 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  +H  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  ( x  +h  y
) )
5 shmod.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  C  e.  SH
65sheli 24567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  C  ->  z  e.  ~H )
72sheli 24567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ~H )
83sheli 24567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ~H )
9 hvsubadd 24430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  <->  ( x  +h  y )  =  z ) )
106, 7, 8, 9syl3an 1260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  -h  x )  =  y  <-> 
( x  +h  y
)  =  z ) )
11 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  +h  y )  =  z  <->  z  =  ( x  +h  y
) )
1210, 11syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( z  -h  x )  =  y  <-> 
z  =  ( x  +h  y ) ) )
13123expb 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  <->  z  =  ( x  +h  y
) ) )
145, 2shsvsi 24721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  -h  x
)  e.  ( C  +H  A ) )
155, 2shscomi 24717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  +H  A )  =  ( A  +H  C
)
1614, 15syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  -h  x
)  e.  ( A  +H  C ) )
172, 5shlesb1i 24740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A 
C_  C  <->  ( A  +H  C )  =  C )
1817biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A 
C_  C  ->  ( A  +H  C )  =  C )
1918eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  -h  x
)  e.  ( A  +H  C )  <->  ( z  -h  x )  e.  C
) )
2016, 19syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  e.  C  /\  x  e.  A
)  ->  ( z  -h  x )  e.  C
) )
21 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  -h  x )  =  y  ->  (
( z  -h  x
)  e.  C  <->  y  e.  C ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  -h  x )  =  y  ->  (
( z  -h  x
)  e.  C  -> 
y  e.  C ) )
2320, 22sylan9 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  C ) )
2423anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( y  e.  B  /\  (
z  e.  C  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
25 elin 3534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( B  i^i  C )  <->  ( y  e.  B  /\  y  e.  C ) )
2624, 25syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  C  /\  ( z  -h  x
)  =  y )  ->  ( ( y  e.  B  /\  (
z  e.  C  /\  x  e.  A )
)  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
2726ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  C  /\  x  e.  A ) )  -> 
y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
2827com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( z  e.  C  /\  x  e.  A
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3029anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( z  -h  x
)  =  y  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3113, 30sylbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) ) )
3231imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( A  C_  C  ->  y  e.  ( B  i^i  C ) ) )
333, 5shincli 24716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  C )  e.  SH
342, 33shsvai 24718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  -> 
( x  +h  y
)  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )
35 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) )  <->  ( x  +h  y )  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
3634, 35syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  ( B  i^i  C ) )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
3736expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  (
x  e.  A  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
3837com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  ->  (
z  =  ( x  +h  y )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4039imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( y  e.  ( B  i^i  C )  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4132, 40syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  C  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B
) )  /\  z  =  ( x  +h  y ) )  -> 
( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4241exp31 604 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  C  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  =  ( x  +h  y )  ->  ( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) ) )
4342rexlimdvv 2842 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  ( x  +h  y )  ->  ( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
444, 43syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  ->  (
z  e.  ( A  +H  B )  -> 
( A  C_  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4544com13 80 . . . 4  |-  ( A 
C_  C  ->  (
z  e.  ( A  +H  B )  -> 
( z  e.  C  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) ) )
4645impd 431 . . 3  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( z  e.  ( A  +H  B )  /\  z  e.  C
)  ->  z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
471, 46syl5bi 217 . 2  |-  ( A 
C_  C  ->  (
z  e.  ( ( A  +H  B )  i^i  C )  -> 
z  e.  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) ) )
4847ssrdv 3357 1  |-  ( A 
C_  C  ->  (
( A  +H  B
)  i^i  C )  C_  ( A  +H  ( B  i^i  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272    +h cva 24273    -h cmv 24278   SHcsh 24281    +H cph 24284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-grpo 23629  df-ablo 23720  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-sh 24560  df-ch 24575  df-shs 24662
This theorem is referenced by:  shmodi  24744
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