Theorem shmodsi 24743

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	|- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3534	. . 3 |- ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) <-> ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) )
2		shmod.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
3		shmod.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
4	2, 3	shseli 24670	. . . . . 6 |- ( z e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) )
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
6	5	sheli 24567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. C -> z e. ~H )
7	2	sheli 24567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	3	sheli 24567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9		hvsubadd 24430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ~H /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
11		eqcom 2440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +h y ) = z <-> z = ( x +h y ) )
12	10, 11	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
13	12	3expb 1188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
14	5, 2	shsvsi 24721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( C +H A ) )
15	5, 2	shscomi 24717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C +H A ) = ( A +H C )
16	14, 15	syl6eleq 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( A +H C ) )
17	2, 5	shlesb1i 24740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ C <-> ( A +H C ) = C )
18	17	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ C -> ( A +H C ) = C )
19	18	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) e. ( A +H C ) <-> ( z -h x ) e. C ) )
20	16, 19	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A C_ C -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. C ) )
21		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C <-> y e. C ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C -> y e. C ) )
23	20, 22	sylan9 657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> y e. C ) )
24	23	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( y e. B /\ y e. C ) ) )
25		elin 3534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
26	24, 25	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) )
27	26	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) = y -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
29	28	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
30	29	anasss 647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
31	13, 30	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
32	31	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) )
33	3, 5	shincli 24716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i C ) e. SH
34	2, 33	shsvai 24718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) )
35		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x +h y ) -> ( z e. ( A +H ( B i^i C ) ) <-> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
36	34, 35	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x +h y ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
37	36	expd 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x +h y ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
38	37	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
41	32, 40	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
42	41	exp31 604	. . . . . . 7 |- ( z e. C -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2842	. . . . . 6 |- ( z e. C -> ( E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
44	4, 43	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
45	44	com13 80	. . . 4 |- ( A C_ C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( z e. C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
46	45	impd 431	. . 3 |- ( A C_ C -> ( ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
47	1, 46	syl5bi 217	. 2 |- ( A C_ C -> ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
48	47	ssrdv 3357	1 |- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   i^i cin 3322   C_ wss 3323  (class class class)co 6086   ~Hchil 24272   +h cva 24273   -h cmv 24278   SHcsh 24281   +H cph 24284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-grpo 23629  df-ablo 23720  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-sh 24560  df-ch 24575  df-shs 24662

This theorem is referenced by:  shmodi  24744