Theorem shmodsi 25983

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	|- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3687	. . 3 |- ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) <-> ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) )
2		shmod.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
3		shmod.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
4	2, 3	shseli 25910	. . . . . 6 |- ( z e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) )
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
6	5	sheli 25807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. C -> z e. ~H )
7	2	sheli 25807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	3	sheli 25807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9		hvsubadd 25670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ~H /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
11		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +h y ) = z <-> z = ( x +h y ) )
12	10, 11	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
13	12	3expb 1197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
14	5, 2	shsvsi 25961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( C +H A ) )
15	5, 2	shscomi 25957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C +H A ) = ( A +H C )
16	14, 15	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( A +H C ) )
17	2, 5	shlesb1i 25980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ C <-> ( A +H C ) = C )
18	17	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ C -> ( A +H C ) = C )
19	18	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) e. ( A +H C ) <-> ( z -h x ) e. C ) )
20	16, 19	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A C_ C -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. C ) )
21		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C <-> y e. C ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C -> y e. C ) )
23	20, 22	sylan9 657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> y e. C ) )
24	23	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( y e. B /\ y e. C ) ) )
25		elin 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
26	24, 25	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) )
27	26	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) = y -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
29	28	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
30	29	anasss 647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
31	13, 30	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
32	31	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) )
33	3, 5	shincli 25956	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i C ) e. SH
34	2, 33	shsvai 25958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) )
35		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x +h y ) -> ( z e. ( A +H ( B i^i C ) ) <-> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
36	34, 35	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x +h y ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
37	36	expd 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x +h y ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
38	37	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
41	32, 40	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
42	41	exp31 604	. . . . . . 7 |- ( z e. C -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2961	. . . . . 6 |- ( z e. C -> ( E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
44	4, 43	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
45	44	com13 80	. . . 4 |- ( A C_ C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( z e. C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
46	45	impd 431	. . 3 |- ( A C_ C -> ( ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
47	1, 46	syl5bi 217	. 2 |- ( A C_ C -> ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
48	47	ssrdv 3510	1 |- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476  (class class class)co 6282   ~Hchil 25512   +h cva 25513   -h cmv 25518   SHcsh 25521   +H cph 25524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hvcom 25594  ax-hvass 25595  ax-hv0cl 25596  ax-hvaddid 25597  ax-hfvmul 25598  ax-hvmulid 25599  ax-hvdistr1 25601  ax-hvdistr2 25602  ax-hvmul0 25603

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-grpo 24869  df-ablo 24960  df-hvsub 25564  df-hlim 25565  df-sh 25800  df-ch 25815  df-shs 25902

This theorem is referenced by:  shmodi  25984