Theorem shmodsi 24937

Description: The modular law holds for subspace sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shmod.1	|- A e. SH
shmod.2	|- B e. SH
shmod.3	|- C e. SH

Assertion

Ref	Expression
shmodsi	|- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Proof of Theorem shmodsi

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3640	. . 3 |- ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) <-> ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) )
2		shmod.1	. . . . . . 7 |- A e. SH
3		shmod.2	. . . . . . 7 |- B e. SH
4	2, 3	shseli 24864	. . . . . 6 |- ( z e. ( A +H B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) )
5		shmod.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. SH
6	5	sheli 24761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. C -> z e. ~H )
7	2	sheli 24761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. A -> x e. ~H )
8	3	sheli 24761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. B -> y e. ~H )
9		hvsubadd 24624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ~H /\ x e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3an 1261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> ( x +h y ) = z ) )
11		eqcom 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x +h y ) = z <-> z = ( x +h y ) )
12	10, 11	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. C /\ x e. A /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
13	12	3expb 1189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y <-> z = ( x +h y ) ) )
14	5, 2	shsvsi 24915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( C +H A ) )
15	5, 2	shscomi 24911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C +H A ) = ( A +H C )
16	14, 15	syl6eleq 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. ( A +H C ) )
17	2, 5	shlesb1i 24934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A C_ C <-> ( A +H C ) = C )
18	17	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A C_ C -> ( A +H C ) = C )
19	18	eleq2d 2521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) e. ( A +H C ) <-> ( z -h x ) e. C ) )
20	16, 19	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A C_ C -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> ( z -h x ) e. C ) )
21		eleq1 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C <-> y e. C ) )
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z -h x ) = y -> ( ( z -h x ) e. C -> y e. C ) )
23	20, 22	sylan9 657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( z e. C /\ x e. A ) -> y e. C ) )
24	23	anim2d 565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( y e. B /\ y e. C ) ) )
25		elin 3640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
26	24, 25	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ C /\ ( z -h x ) = y ) -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) )
27	26	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ C -> ( ( z -h x ) = y -> ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
28	27	com13 80	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( z e. C /\ x e. A ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
29	28	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. C /\ x e. A ) /\ y e. B ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
30	29	anasss 647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( z -h x ) = y -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
31	13, 30	sylbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) ) )
32	31	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> y e. ( B i^i C ) ) )
33	3, 5	shincli 24910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B i^i C ) e. SH
34	2, 33	shsvai 24912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) )
35		eleq1 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x +h y ) -> ( z e. ( A +H ( B i^i C ) ) <-> ( x +h y ) e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
36	34, 35	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x +h y ) -> ( ( x e. A /\ y e. ( B i^i C ) ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
37	36	expd 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x +h y ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
38	37	com12 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
39	38	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
40	39	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( y e. ( B i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
41	32, 40	syld 44	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. C /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) /\ z = ( x +h y ) ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
42	41	exp31 604	. . . . . . 7 |- ( z e. C -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) ) )
43	42	rexlimdvv 2946	. . . . . 6 |- ( z e. C -> ( E. x e. A E. y e. B z = ( x +h y ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
44	4, 43	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( z e. C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( A C_ C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
45	44	com13 80	. . . 4 |- ( A C_ C -> ( z e. ( A +H B ) -> ( z e. C -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) ) )
46	45	impd 431	. . 3 |- ( A C_ C -> ( ( z e. ( A +H B ) /\ z e. C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
47	1, 46	syl5bi 217	. 2 |- ( A C_ C -> ( z e. ( ( A +H B ) i^i C ) -> z e. ( A +H ( B i^i C ) ) ) )
48	47	ssrdv 3463	1 |- ( A C_ C -> ( ( A +H B ) i^i C ) C_ ( A +H ( B i^i C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2796   i^i cin 3428   C_ wss 3429  (class class class)co 6193   ~Hchil 24466   +h cva 24467   -h cmv 24472   SHcsh 24475   +H cph 24478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-hilex 24546  ax-hfvadd 24547  ax-hvcom 24548  ax-hvass 24549  ax-hv0cl 24550  ax-hvaddid 24551  ax-hfvmul 24552  ax-hvmulid 24553  ax-hvdistr1 24555  ax-hvdistr2 24556  ax-hvmul0 24557

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-grpo 23823  df-ablo 23914  df-hvsub 24518  df-hlim 24519  df-sh 24754  df-ch 24769  df-shs 24856

This theorem is referenced by:  shmodi  24938