HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlub Structured version   Unicode version

Theorem shlub 26928
Description: Hilbert lattice join is the least upper bound (among Hilbert lattice elements) of two subspaces. (Contributed by NM, 15-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shlub  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  C )
)

Proof of Theorem shlub
StepHypRef Expression
1 unss 3637 . . . 4  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <->  ( A  u.  B )  C_  C
)
2 simp1 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  A  e.  SH )
3 shss 26724 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  SH  ->  A  C_ 
~H )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  A  C_ 
~H )
5 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  B  e.  SH )
6 shss 26724 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  SH  ->  B  C_ 
~H )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_ 
~H )
84, 7unssd 3639 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  u.  B )  C_ 
~H )
9 chss 26743 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CH  ->  C  C_ 
~H )
1093ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  C  C_ 
~H )
11 occon2 26802 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  ~H  /\  C  C_ 
~H )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  C  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  C ) ) ) )
128, 10, 11syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  u.  B
)  C_  C  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B
) ) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  C ) ) ) )
131, 12syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B ) ) ) 
C_  ( _|_ `  ( _|_ `  C ) ) ) )
14 shjval 26865 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( A  vH  B
)  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B )
) ) )
152, 5, 14syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  B )  =  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B ) ) ) )
16 ococ 26920 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CH  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  C
) )  =  C )
17163ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  ( _|_ `  ( _|_ `  C
) )  =  C )
1817eqcomd 2428 . . . 4  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  C  =  ( _|_ `  ( _|_ `  C ) ) )
1915, 18sseq12d 3490 . . 3  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  vH  B
)  C_  C  <->  ( _|_ `  ( _|_ `  ( A  u.  B )
) )  C_  ( _|_ `  ( _|_ `  C
) ) ) )
2013, 19sylibrd 237 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  ->  ( A  vH  B )  C_  C
) )
21 shub1 26896 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  A  C_  ( A  vH  B ) )
222, 5, 21syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  B
) )
23 sstr 3469 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  C )  ->  A  C_  C )
2422, 23sylan 473 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  /\  ( A  vH  B
)  C_  C )  ->  A  C_  C )
25 shub2 26897 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  SH  /\  A  e.  SH )  ->  B  C_  ( A  vH  B ) )
265, 2, 25syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( A  vH  B
) )
27 sstr 3469 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  C )  ->  B  C_  C )
2826, 27sylan 473 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  /\  ( A  vH  B
)  C_  C )  ->  B  C_  C )
2924, 28jca 534 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  /\  ( A  vH  B
)  C_  C )  ->  ( A  C_  C  /\  B  C_  C ) )
3029ex 435 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  vH  B
)  C_  C  ->  ( A  C_  C  /\  B  C_  C ) ) )
3120, 30impbid 193 1  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  C  /\  B  C_  C )  <-> 
( A  vH  B
)  C_  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    u. cun 3431    C_ wss 3433   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   ~Hchil 26433   SHcsh 26442   CHcch 26443   _|_cort 26444    vH chj 26447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608  ax-hilex 26513  ax-hfvadd 26514  ax-hvcom 26515  ax-hvass 26516  ax-hv0cl 26517  ax-hvaddid 26518  ax-hfvmul 26519  ax-hvmulid 26520  ax-hvmulass 26521  ax-hvdistr1 26522  ax-hvdistr2 26523  ax-hvmul0 26524  ax-hfi 26593  ax-his1 26596  ax-his2 26597  ax-his3 26598  ax-his4 26599  ax-hcompl 26716
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-lm 20169  df-haus 20255  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cfil 22131  df-cau 22132  df-cmet 22133  df-grpo 25790  df-gid 25791  df-ginv 25792  df-gdiv 25793  df-ablo 25881  df-subgo 25901  df-vc 26036  df-nv 26082  df-va 26085  df-ba 26086  df-sm 26087  df-0v 26088  df-vs 26089  df-nmcv 26090  df-ims 26091  df-dip 26208  df-ssp 26232  df-ph 26325  df-cbn 26376  df-hnorm 26482  df-hba 26483  df-hvsub 26485  df-hlim 26486  df-hcau 26487  df-sh 26721  df-ch 26735  df-oc 26766  df-ch0 26767  df-shs 26822  df-chj 26824
This theorem is referenced by:  shlubi  26929  chlub  27023
  Copyright terms: Public domain W3C validator