Theorem shlesb1i 24961

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	|- A e. SH
shlesb1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	|- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3486	. . 3 |- B C_ B
2	1	biantrur 506	. 2 |- ( A C_ B <-> ( B C_ B /\ A C_ B ) )
3		shlesb1.2	. . 3 |- B e. SH
4		shlesb1.1	. . 3 |- A e. SH
5	3, 4, 3	shslubi 24960	. 2 |- ( ( B C_ B /\ A C_ B ) <-> ( B +H A ) C_ B )
6	3, 4	shsub2i 24948	. . . 4 |- B C_ ( A +H B )
7		eqss 3482	. . . 4 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( ( A +H B ) C_ B /\ B C_ ( A +H B ) ) )
8	6, 7	mpbiran2 910	. . 3 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( A +H B ) C_ B )
9	4, 3	shscomi 24938	. . . 4 |- ( A +H B ) = ( B +H A )
10	9	sseq1i 3491	. . 3 |- ( ( A +H B ) C_ B <-> ( B +H A ) C_ B )
11	8, 10	bitr2i 250	. 2 |- ( ( B +H A ) C_ B <-> ( A +H B ) = B )
12	2, 5, 11	3bitri 271	1 |- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3439  (class class class)co 6203   SHcsh 24502   +H cph 24505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537  df-sub 9711  df-neg 9712  df-grpo 23850  df-ablo 23941  df-hvsub 24545  df-sh 24781  df-shs 24883

This theorem is referenced by:  shmodsi  24964