Theorem shlesb1i 26118

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	|- A e. SH
shlesb1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	|- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3528	. . 3 |- B C_ B
2	1	biantrur 506	. 2 |- ( A C_ B <-> ( B C_ B /\ A C_ B ) )
3		shlesb1.2	. . 3 |- B e. SH
4		shlesb1.1	. . 3 |- A e. SH
5	3, 4, 3	shslubi 26117	. 2 |- ( ( B C_ B /\ A C_ B ) <-> ( B +H A ) C_ B )
6	3, 4	shsub2i 26105	. . . 4 |- B C_ ( A +H B )
7		eqss 3524	. . . 4 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( ( A +H B ) C_ B /\ B C_ ( A +H B ) ) )
8	6, 7	mpbiran2 917	. . 3 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( A +H B ) C_ B )
9	4, 3	shscomi 26095	. . . 4 |- ( A +H B ) = ( B +H A )
10	9	sseq1i 3533	. . 3 |- ( ( A +H B ) C_ B <-> ( B +H A ) C_ B )
11	8, 10	bitr2i 250	. 2 |- ( ( B +H A ) C_ B <-> ( A +H B ) = B )
12	2, 5, 11	3bitri 271	1 |- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3481  (class class class)co 6295   SHcsh 25659   +H cph 25662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hvcom 25732  ax-hvass 25733  ax-hv0cl 25734  ax-hvaddid 25735  ax-hfvmul 25736  ax-hvmulid 25737  ax-hvdistr2 25740  ax-hvmul0 25741

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-neg 9820  df-grpo 25007  df-ablo 25098  df-hvsub 25702  df-sh 25938  df-shs 26040

This theorem is referenced by:  shmodsi  26121