Theorem shlesb1i 26431

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	|- A e. SH
shlesb1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	|- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3518	. . 3 |- B C_ B
2	1	biantrur 506	. 2 |- ( A C_ B <-> ( B C_ B /\ A C_ B ) )
3		shlesb1.2	. . 3 |- B e. SH
4		shlesb1.1	. . 3 |- A e. SH
5	3, 4, 3	shslubi 26430	. 2 |- ( ( B C_ B /\ A C_ B ) <-> ( B +H A ) C_ B )
6	3, 4	shsub2i 26418	. . . 4 |- B C_ ( A +H B )
7		eqss 3514	. . . 4 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( ( A +H B ) C_ B /\ B C_ ( A +H B ) ) )
8	6, 7	mpbiran2 919	. . 3 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( A +H B ) C_ B )
9	4, 3	shscomi 26408	. . . 4 |- ( A +H B ) = ( B +H A )
10	9	sseq1i 3523	. . 3 |- ( ( A +H B ) C_ B <-> ( B +H A ) C_ B )
11	8, 10	bitr2i 250	. 2 |- ( ( B +H A ) C_ B <-> ( A +H B ) = B )
12	2, 5, 11	3bitri 271	1 |- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   C_ wss 3471  (class class class)co 6296   SHcsh 25972   +H cph 25975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-grpo 25320  df-ablo 25411  df-hvsub 26015  df-sh 26251  df-shs 26353

This theorem is referenced by:  shmodsi  26434