Theorem shlesb1i 27051

Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	|- A e. SH
shlesb1.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shlesb1i	|- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Proof of Theorem shlesb1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3453	. . 3 |- B C_ B
2	1	biantrur 509	. 2 |- ( A C_ B <-> ( B C_ B /\ A C_ B ) )
3		shlesb1.2	. . 3 |- B e. SH
4		shlesb1.1	. . 3 |- A e. SH
5	3, 4, 3	shslubi 27050	. 2 |- ( ( B C_ B /\ A C_ B ) <-> ( B +H A ) C_ B )
6	3, 4	shsub2i 27038	. . . 4 |- B C_ ( A +H B )
7		eqss 3449	. . . 4 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( ( A +H B ) C_ B /\ B C_ ( A +H B ) ) )
8	6, 7	mpbiran2 931	. . 3 |- ( ( A +H B ) = B <-> ( A +H B ) C_ B )
9	4, 3	shscomi 27028	. . . 4 |- ( A +H B ) = ( B +H A )
10	9	sseq1i 3458	. . 3 |- ( ( A +H B ) C_ B <-> ( B +H A ) C_ B )
11	8, 10	bitr2i 254	. 2 |- ( ( B +H A ) C_ B <-> ( A +H B ) = B )
12	2, 5, 11	3bitri 275	1 |- ( A C_ B <-> ( A +H B ) = B )

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   C_ wss 3406  (class class class)co 6295   SHcsh 26593   +H cph 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-hilex 26664  ax-hfvadd 26665  ax-hvcom 26666  ax-hvass 26667  ax-hv0cl 26668  ax-hvaddid 26669  ax-hfvmul 26670  ax-hvmulid 26671  ax-hvdistr2 26674  ax-hvmul0 26675

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-ltxr 9685  df-sub 9867  df-neg 9868  df-grpo 25931  df-ablo 26022  df-hvsub 26636  df-sh 26872  df-shs 26973

This theorem is referenced by:  shmodsi  27054