HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlesb1i Structured version   Unicode version

Theorem shlesb1i 26118
Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1  |-  A  e.  SH
shlesb1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shlesb1i  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  +H  B )  =  B )

Proof of Theorem shlesb1i
StepHypRef Expression
1 ssid 3528 . . 3  |-  B  C_  B
21biantrur 506 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  C_  B  /\  A  C_  B ) )
3 shlesb1.2 . . 3  |-  B  e.  SH
4 shlesb1.1 . . 3  |-  A  e.  SH
53, 4, 3shslubi 26117 . 2  |-  ( ( B  C_  B  /\  A  C_  B )  <->  ( B  +H  A )  C_  B
)
63, 4shsub2i 26105 . . . 4  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
7 eqss 3524 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  =  B  <->  ( ( A  +H  B )  C_  B  /\  B  C_  ( A  +H  B ) ) )
86, 7mpbiran2 917 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  =  B  <->  ( A  +H  B )  C_  B
)
94, 3shscomi 26095 . . . 4  |-  ( A  +H  B )  =  ( B  +H  A
)
109sseq1i 3533 . . 3  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  B  <->  ( B  +H  A )  C_  B
)
118, 10bitr2i 250 . 2  |-  ( ( B  +H  A ) 
C_  B  <->  ( A  +H  B )  =  B )
122, 5, 113bitri 271 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  +H  B )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481  (class class class)co 6295   SHcsh 25659    +H cph 25662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hvcom 25732  ax-hvass 25733  ax-hv0cl 25734  ax-hvaddid 25735  ax-hfvmul 25736  ax-hvmulid 25737  ax-hvdistr2 25740  ax-hvmul0 25741
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sub 9819  df-neg 9820  df-grpo 25007  df-ablo 25098  df-hvsub 25702  df-sh 25938  df-shs 26040
This theorem is referenced by:  shmodsi  26121
  Copyright terms: Public domain W3C validator