HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlesb1i Structured version   Unicode version

Theorem shlesb1i 26431
Description: Hilbert lattice ordering in terms of subspace sum. (Contributed by NM, 23-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shlesb1.1  |-  A  e.  SH
shlesb1.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shlesb1i  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  +H  B )  =  B )

Proof of Theorem shlesb1i
StepHypRef Expression
1 ssid 3518 . . 3  |-  B  C_  B
21biantrur 506 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  ( B  C_  B  /\  A  C_  B ) )
3 shlesb1.2 . . 3  |-  B  e.  SH
4 shlesb1.1 . . 3  |-  A  e.  SH
53, 4, 3shslubi 26430 . 2  |-  ( ( B  C_  B  /\  A  C_  B )  <->  ( B  +H  A )  C_  B
)
63, 4shsub2i 26418 . . . 4  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
7 eqss 3514 . . . 4  |-  ( ( A  +H  B )  =  B  <->  ( ( A  +H  B )  C_  B  /\  B  C_  ( A  +H  B ) ) )
86, 7mpbiran2 919 . . 3  |-  ( ( A  +H  B )  =  B  <->  ( A  +H  B )  C_  B
)
94, 3shscomi 26408 . . . 4  |-  ( A  +H  B )  =  ( B  +H  A
)
109sseq1i 3523 . . 3  |-  ( ( A  +H  B ) 
C_  B  <->  ( B  +H  A )  C_  B
)
118, 10bitr2i 250 . 2  |-  ( ( B  +H  A ) 
C_  B  <->  ( A  +H  B )  =  B )
122, 5, 113bitri 271 1  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  +H  B )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    C_ wss 3471  (class class class)co 6296   SHcsh 25972    +H cph 25975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-hilex 26043  ax-hfvadd 26044  ax-hvcom 26045  ax-hvass 26046  ax-hv0cl 26047  ax-hvaddid 26048  ax-hfvmul 26049  ax-hvmulid 26050  ax-hvdistr2 26053  ax-hvmul0 26054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-grpo 25320  df-ablo 25411  df-hvsub 26015  df-sh 26251  df-shs 26353
This theorem is referenced by:  shmodsi  26434
  Copyright terms: Public domain W3C validator