HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlej1i Structured version   Unicode version

Theorem shlej1i 24786
Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
shless.1  |-  C  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shlej1i  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) )

Proof of Theorem shlej1i
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . 2  |-  A  e.  SH
2 shincl.2 . 2  |-  B  e.  SH
3 shless.1 . 2  |-  C  e.  SH
4 shlej1 24768 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) )
54ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) ) )
61, 2, 3, 5mp3an 1314 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756    C_ wss 3333  (class class class)co 6096   SHcsh 24335    vH chj 24340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-hilex 24406  ax-hfvadd 24407  ax-hv0cl 24410  ax-hfvmul 24412  ax-hvmul0 24417  ax-hfi 24486  ax-his2 24490  ax-his3 24491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-ltxr 9428  df-sh 24614  df-oc 24660  df-chj 24718
This theorem is referenced by:  shlej2i  24787  chlej1i  24881  5oai  25069
  Copyright terms: Public domain W3C validator