HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shlej1i Structured version   Unicode version

Theorem shlej1i 26127
Description: Add disjunct to both sides of Hilbert subspace ordering. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
shless.1  |-  C  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shlej1i  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) )

Proof of Theorem shlej1i
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . 2  |-  A  e.  SH
2 shincl.2 . 2  |-  B  e.  SH
3 shless.1 . 2  |-  C  e.  SH
4 shlej1 26109 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) )
54ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH  /\  C  e.  SH )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) ) )
61, 2, 3, 5mp3an 1324 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( A  vH  C )  C_  ( B  vH  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C_ wss 3481  (class class class)co 6295   SHcsh 25676    vH chj 25681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-hilex 25747  ax-hfvadd 25748  ax-hv0cl 25751  ax-hfvmul 25753  ax-hvmul0 25758  ax-hfi 25827  ax-his2 25831  ax-his3 25832
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645  df-sh 25955  df-oc 26001  df-chj 26059
This theorem is referenced by:  shlej2i  26128  chlej1i  26222  5oai  26410
  Copyright terms: Public domain W3C validator