Theorem shjcom 10963

Description: Commutative law for Hilbert lattice join of subspaces.

Assertion

Ref	Expression
shjcom	|- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A vH B) = (B vH A))

Proof of Theorem shjcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shjval 10954	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A vH B) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
2		shjval 10954	. . . 4 |- ((B e. SH /\ A e. SH) -> (B vH A) = (_|_` (_|_` (B u. A))))
3	2	ancoms 484	. . 3 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (B vH A) = (_|_` (_|_` (B u. A))))
4		uncom 2744	. . . . 5 |- (B u. A) = (A u. B)
5	4	fveq2i 4684	. . . 4 |- (_|_` (B u. A)) = (_|_` (A u. B))
6	5	fveq2i 4684	. . 3 |- (_|_` (_|_` (B u. A))) = (_|_` (_|_` (A u. B)))
7	3, 6	syl6eq 1944	. 2 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (B vH A) = (_|_` (_|_` (A u. B))))
8	1, 7	eqtr4d 1928	1 |- ((A e. SH /\ B e. SH) -> (A vH B) = (B vH A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  SHcsh 10429  _|_cort 10431   vH chj 10434

This theorem is referenced by:  shjcomi 10973  shub2 10986  shlej2 10989  chjcom 11062

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-sh 10709  df-chj 10908

Copyright terms: Public domain