Theorem shintcli 10926

Description: Closure of intersection of a non-empty subset of SH.

Hypothesis

Ref	Expression
shintcl.1	|- (A C_ SH /\ A =/= (/))

Assertion

Ref	Expression
shintcli	|- |^|A e. SH

Proof of Theorem shintcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sh 10711	. 2 |- (|^|A e. SH <-> ((|^|A C_ ~H /\ 0h e. |^|A) /\ (A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A /\ A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A)))
2		shintcl.1	. . . . 5 |- (A C_ SH /\ A =/= (/))
3	2	simpri 351	. . . 4 |- A =/= (/)
4		n0 2884	. . . . 5 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
5		intss1 3231	. . . . . . 7 |- (z e. A -> |^|A C_ z)
6	2	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- A C_ SH
7	6	sseli 2617	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> z e. SH)
8		shss 10712	. . . . . . . 8 |- (z e. SH -> z C_ ~H)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . 7 |- (z e. A -> z C_ ~H)
10	5, 9	sstrd 2627	. . . . . 6 |- (z e. A -> |^|A C_ ~H)
11	10	19.23aiv 1674	. . . . 5 |- (E.z z e. A -> |^|A C_ ~H)
12	4, 11	sylbi 216	. . . 4 |- (A =/= (/) -> |^|A C_ ~H)
13	3, 12	ax-mp 7	. . 3 |- |^|A C_ ~H
14		ax-hv0cl 10505	. . . . . 6 |- 0h e. ~H
15	14	elisseti 2301	. . . . 5 |- 0h e. _V
16	15	elint2 3221	. . . 4 |- (0h e. |^|A <-> A.z e. A 0h e. z)
17		sh0 10717	. . . . 5 |- (z e. SH -> 0h e. z)
18	7, 17	syl 12	. . . 4 |- (z e. A -> 0h e. z)
19	16, 18	mprgbir 2163	. . 3 |- 0h e. |^|A
20	13, 19	pm3.2i 307	. 2 |- (|^|A C_ ~H /\ 0h e. |^|A)
21		shaddcl 10718	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. SH /\ x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z)
22	21, 7	syl3an1 1130	. . . . . . . . 9 |- ((z e. A /\ x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z)
23	22	3expib 1070	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((x e. z /\ y e. z) -> (x +h y) e. z))
24		elinti 3223	. . . . . . . . 9 |- (x e. |^|A -> (z e. A -> x e. z))
25	24	com12 14	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (x e. |^|A -> x e. z))
26		elinti 3223	. . . . . . . . 9 |- (y e. |^|A -> (z e. A -> y e. z))
27	26	com12 14	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> (y e. |^|A -> y e. z))
28	23, 25, 27	syl2and 508	. . . . . . 7 |- (z e. A -> ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (x +h y) e. z))
29	28	com12 14	. . . . . 6 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (z e. A -> (x +h y) e. z))
30	29	r19.21aiv 2175	. . . . 5 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> A.z e. A (x +h y) e. z)
31		oprex 4907	. . . . . 6 |- (x +h y) e. _V
32	31	elint2 3221	. . . . 5 |- ((x +h y) e. |^|A <-> A.z e. A (x +h y) e. z)
33	30, 32	sylibr 217	. . . 4 |- ((x e. |^|A /\ y e. |^|A) -> (x +h y) e. |^|A)
34	33	rgen2a 2160	. . 3 |- A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A
35		shmulcl 10720	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. SH /\ x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z)
36	35, 7	syl3an1 1130	. . . . . . . . 9 |- ((z e. A /\ x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z)
37	36	3expib 1070	. . . . . . . 8 |- (z e. A -> ((x e. CC /\ y e. z) -> (x .h y) e. z))
38	37, 27	sylan2d 507	. . . . . . 7 |- (z e. A -> ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (x .h y) e. z))
39	38	com12 14	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (z e. A -> (x .h y) e. z))
40	39	r19.21aiv 2175	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> A.z e. A (x .h y) e. z)
41		oprex 4907	. . . . . 6 |- (x .h y) e. _V
42	41	elint2 3221	. . . . 5 |- ((x .h y) e. |^|A <-> A.z e. A (x .h y) e. z)
43	40, 42	sylibr 217	. . . 4 |- ((x e. CC /\ y e. |^|A) -> (x .h y) e. |^|A)
44	43	rgen2 2186	. . 3 |- A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A
45	34, 44	pm3.2i 307	. 2 |- (A.x e. |^|AA.y e. |^|A(x +h y) e. |^|A /\ A.x e. CC A.y e. |^|A(x .h y) e. |^|A)
46	1, 20, 45	mpbir2an 800	1 |- |^|A e. SH

Syntax hints:   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|cint 3214  (class class class)co 4884  CCcc 6384  ~Hchil 10420   +h cva 10421   .h csm 10422  0hc0v 10423  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  shintcl 10927  chintcli 10928  shincli 10964

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hv0cl 10505

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-sh 10709

Copyright terms: Public domain