Theorem shincli 10964

Description: Closure of intersection of two subspaces.

Hypotheses

Ref	Expression
shincl.1	|- A e. SH
shincl.2	|- B e. SH

Assertion

Ref	Expression
shincli	|- (A i^i B) e. SH

Proof of Theorem shincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shincl.1	. . . 4 |- A e. SH
2	1	elisseti 2301	. . 3 |- A e. _V
3		shincl.2	. . . 4 |- B e. SH
4	3	elisseti 2301	. . 3 |- B e. _V
5	2, 4	intpr 3250	. 2 |- |^|{A, B} = (A i^i B)
6	1, 3	pm3.2i 307	. . . . 5 |- (A e. SH /\ B e. SH)
7	2, 4	prss 3138	. . . . 5 |- ((A e. SH /\ B e. SH) <-> {A, B} C_ SH)
8	6, 7	mpbi 206	. . . 4 |- {A, B} C_ SH
9	2	prnz 3120	. . . 4 |- {A, B} =/= (/)
10	8, 9	pm3.2i 307	. . 3 |- ({A, B} C_ SH /\ {A, B} =/= (/))
11	10	shintcli 10926	. 2 |- |^|{A, B} e. SH
12	5, 11	eqeltrri 1968	1 |- (A i^i B) e. SH

Syntax hints:   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {cpr 3045  |^|cint 3214  SHcsh 10429

This theorem is referenced by:  shincl 10984  shmodsi 10995  shmodi 10996  5oalem1 11234  5oalem3 11236  5oalem5 11238  5oalem6 11239  5oai 11241  3oalem2 11243  3oalem6 11247  cdj3lem1 12006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-hilex 10501  ax-hv0cl 10505

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886  df-sh 10709

Copyright terms: Public domain