HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shincli Structured version   Unicode version

Theorem shincli 26850
Description: Closure of intersection of two subspaces. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shincl.1  |-  A  e.  SH
shincl.2  |-  B  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shincli  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH

Proof of Theorem shincli
StepHypRef Expression
1 shincl.1 . . . 4  |-  A  e.  SH
21elexi 3097 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 shincl.2 . . . 4  |-  B  e.  SH
43elexi 3097 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4292 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )
72, 4prss 4157 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  SH  /\  B  e.  SH )  <->  { A ,  B }  C_  SH )
86, 7mpbi 211 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  SH
92prnz 4122 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 456 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_  SH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110shintcli 26817 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  SH
125, 11eqeltrri 2514 1  |-  ( A  i^i  B )  e.  SH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    e. wcel 1870    =/= wne 2625    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {cpr 4004   |^|cint 4258   SHcsh 26416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hv0cl 26491  ax-hfvmul 26493
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-sh 26695
This theorem is referenced by:  shincl  26869  shmodsi  26877  shmodi  26878  5oalem1  27142  5oalem3  27144  5oalem5  27146  5oalem6  27147  5oai  27149  3oalem2  27151  3oalem6  27155  cdj3lem1  27922
  Copyright terms: Public domain W3C validator