MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftval3 Structured version   Unicode version

Theorem shftval3 12586
Description: Value of a sequence shifted by  A  -  B. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  A )  =  ( F `  B ) )

Proof of Theorem shftval3
StepHypRef Expression
1 0cn 9399 . . 3  |-  0  e.  CC
2 shftfval.1 . . . 4  |-  F  e. 
_V
32shftval2 12585 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  (
( F  shift  ( A  -  B ) ) `
 ( A  + 
0 ) )  =  ( F `  ( B  +  0 ) ) )
41, 3mp3an3 1303 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  ( A  +  0 ) )  =  ( F `  ( B  +  0
) ) )
5 addid1 9570 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  +  0 )  =  A )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  0 )  =  A )
76fveq2d 5716 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  ( A  +  0 ) )  =  ( ( F 
shift  ( A  -  B
) ) `  A
) )
8 addid1 9570 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  +  0 )  =  B )
98adantl 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
109fveq2d 5716 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( F `  ( B  +  0 ) )  =  ( F `
 B ) )
114, 7, 103eqtr3d 2483 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  ( A  -  B ) ) `  A )  =  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303    + caddc 9306    - cmin 9616    shift cshi 12576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618  df-shft 12577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator