MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem shftval 13149
Description: Value of a sequence shifted by  A. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
shftval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A
) ) )

Proof of Theorem shftval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . 5  |-  F  e. 
_V
21shftfib 13147 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) " { B } )  =  ( F " { ( B  -  A ) } ) )
32eleq2d 2516 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  ( ( F  shift  A )
" { B }
)  <->  x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
43iotabidv 5570 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( iota x x  e.  ( ( F 
shift  A ) " { B } ) )  =  ( iota x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) ) )
5 dffv3 5866 . 2  |-  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( iota x x  e.  ( ( F  shift  A ) " { B } ) )
6 dffv3 5866 . 2  |-  ( F `
 ( B  -  A ) )  =  ( iota x x  e.  ( F " { ( B  -  A ) } ) )
74, 5, 63eqtr4g 2512 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( F  shift  A ) `  B )  =  ( F `  ( B  -  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047   {csn 3970   "cima 4840   iotacio 5547   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542    - cmin 9865    shift cshi 13141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-ltxr 9685  df-sub 9867  df-shft 13142
This theorem is referenced by:  shftval2  13150  shftval4  13152  shftval5  13153  shftf  13154  seqshft  13160  climshftlem  13650  isumshft  13909  cvgrat  13951  abelthlem6  23403  shftvalg  30377  uzmptshftfval  36706
  Copyright terms: Public domain W3C validator