MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftuz Structured version   Unicode version

Theorem shftuz 13051
Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftuz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  (
ZZ>= `  B ) }  =  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem shftuz
StepHypRef Expression
1 df-rab 2763 . 2  |-  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B ) }  =  { x  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B )
) }
2 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  x  e.  CC )
3 zcn 10910 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
433ad2ant1 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  A  e.  CC )
52, 4npcand 9971 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  (
( x  -  A
)  +  A )  =  x )
6 eluzadd 11155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( x  -  A
)  +  A )  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
76ancoms 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) )  -> 
( ( x  -  A )  +  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A
) ) )
873adant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  (
( x  -  A
)  +  A )  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
95, 8eqeltrrd 2491 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A ) ) )
1093expib 1200 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A
) ) ) )
1110adantr 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A ) ) ) )
12 eluzelcn 11138 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
)  ->  x  e.  CC )
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  ->  x  e.  CC )
)
14 eluzsub 11156 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A ) ) )  ->  ( x  -  A )  e.  (
ZZ>= `  B ) )
15143expia 1199 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  -> 
( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1615ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  -> 
( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1713, 16jcad 531 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) ) )
1811, 17impbid 190 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  ( B  +  A ) ) ) )
1918abbi1dv 2540 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { x  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) }  =  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
201, 19syl5eq 2455 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  (
ZZ>= `  B ) }  =  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   {crab 2758   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520    + caddc 9525    - cmin 9841   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128
This theorem is referenced by:  seqshft  13067  uzmptshftfval  36099
  Copyright terms: Public domain W3C validator