MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftuz Structured version   Unicode version

Theorem shftuz 12859
Description: A shift of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftuz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  (
ZZ>= `  B ) }  =  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem shftuz
StepHypRef Expression
1 df-rab 2823 . 2  |-  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B ) }  =  { x  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B )
) }
2 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  x  e.  CC )
3 zcn 10865 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
433ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  A  e.  CC )
52, 4npcand 9930 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  (
( x  -  A
)  +  A )  =  x )
6 eluzadd 11106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( x  -  A
)  +  A )  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
76ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) )  -> 
( ( x  -  A )  +  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A
) ) )
873adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  (
( x  -  A
)  +  A )  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
95, 8eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B
) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A ) ) )
1093expib 1199 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A
) ) ) )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A ) ) ) )
12 eluzelz 11087 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
)  ->  x  e.  ZZ )
1312zcnd 10963 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
)  ->  x  e.  CC )
1413a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  ->  x  e.  CC )
)
15 eluzsub 11107 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  x  e.  ( ZZ>= `  ( B  +  A ) ) )  ->  ( x  -  A )  e.  (
ZZ>= `  B ) )
16153expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  -> 
( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1716ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  -> 
( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
1814, 17jcad 533 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  ( B  +  A ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) ) )
1911, 18impbid 191 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  ( B  +  A ) ) ) )
2019abbi1dv 2605 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { x  |  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  ( ZZ>= `  B ) ) }  =  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
211, 20syl5eq 2520 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  (
ZZ>= `  B ) }  =  ( ZZ>= `  ( B  +  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   {crab 2818   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486    + caddc 9491    - cmin 9801   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079
This theorem is referenced by:  seqshft  12875
  Copyright terms: Public domain W3C validator