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Theorem shftlem 11838
Description: Two ways to write a shifted set  ( B  +  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
shftlem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  =  { x  |  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) } )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem shftlem
StepHypRef Expression
1 df-rab 2675 . 2  |-  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  =  {
x  |  ( x  e.  CC  /\  (
x  -  A )  e.  B ) }
2 npcan 9270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  +  A
)  =  x )
32ancoms 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  +  A
)  =  x )
43eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  x  =  ( ( x  -  A )  +  A ) )
5 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( x  -  A )  ->  (
y  +  A )  =  ( ( x  -  A )  +  A ) )
65eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( x  -  A )  ->  (
x  =  ( y  +  A )  <->  x  =  ( ( x  -  A )  +  A
) ) )
76rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  -  A
)  e.  B  /\  x  =  ( (
x  -  A )  +  A ) )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) )
87expcom 425 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( x  -  A )  +  A )  ->  (
( x  -  A
)  e.  B  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) ) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  -  A )  e.  B  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) ) )
109expimpd 587 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) ) )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  B )  ->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A
) ) )
12 ssel2 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  CC )
13 addcl 9028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( y  +  A
)  e.  CC )
1412, 13sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( y  +  A )  e.  CC )
15 pncan 9267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  -  A
)  =  y )
1612, 15sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  -  A )  =  y )
17 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  y  e.  B
)
1816, 17eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  -  A )  e.  B
)
1914, 18jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( y  +  A )  e.  CC  /\  ( ( y  +  A )  -  A )  e.  B ) )
2019ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( B  C_  CC  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
y  +  A )  e.  CC  /\  (
( y  +  A
)  -  A )  e.  B ) )
2120anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
y  +  A )  e.  CC  /\  (
( y  +  A
)  -  A )  e.  B ) )
22 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
x  e.  CC  <->  ( y  +  A )  e.  CC ) )
23 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( y  +  A )  -  A ) )
2423eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
( x  -  A
)  e.  B  <->  ( (
y  +  A )  -  A )  e.  B ) )
2522, 24anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
( x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B )  <-> 
( ( y  +  A )  e.  CC  /\  ( ( y  +  A )  -  A
)  e.  B ) ) )
2621, 25syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  =  ( y  +  A )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B ) ) )
2726rexlimdva 2790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  -> 
( E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A )  ->  ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  B ) ) )
2811, 27impbid 184 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  CC  /\  ( x  -  A )  e.  B )  <->  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A
) ) )
2928abbidv 2518 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  ->  { x  |  (
x  e.  CC  /\  ( x  -  A
)  e.  B ) }  =  { x  |  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) } )
301, 29syl5eq 2448 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  C_  CC )  ->  { x  e.  CC  |  ( x  -  A )  e.  B }  =  { x  |  E. y  e.  B  x  =  ( y  +  A ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280  (class class class)co 6040   CCcc 8944    + caddc 8949    - cmin 9247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249
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