Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  shftfn Structured version   Unicode version

Theorem shftfn 13057
 Description: Functionality and domain of a sequence shifted by . (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1
Assertion
Ref Expression
shftfn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem shftfn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopab 4951 . . . . 5
21a1i 11 . . . 4
3 fnfun 5661 . . . . . 6
43adantr 465 . . . . 5
5 funmo 5587 . . . . . . 7
6 vex 3064 . . . . . . . . . 10
7 vex 3064 . . . . . . . . . 10
8 eleq1 2476 . . . . . . . . . . 11
9 oveq1 6287 . . . . . . . . . . . 12
109breq1d 4407 . . . . . . . . . . 11
118, 10anbi12d 711 . . . . . . . . . 10
12 breq2 4401 . . . . . . . . . . 11
1312anbi2d 704 . . . . . . . . . 10
14 eqid 2404 . . . . . . . . . 10
156, 7, 11, 13, 14brab 4715 . . . . . . . . 9
1615simprbi 464 . . . . . . . 8
1716moimi 2294 . . . . . . 7
185, 17syl 17 . . . . . 6
1918alrimiv 1742 . . . . 5
204, 19syl 17 . . . 4
21 dffun6 5586 . . . 4
222, 20, 21sylanbrc 664 . . 3
23 shftfval.1 . . . . . 6
2423shftfval 13054 . . . . 5
2524adantl 466 . . . 4
2625funeqd 5592 . . 3
2722, 26mpbird 234 . 2
2823shftdm 13055 . . 3
29 fndm 5663 . . . . 5
3029eleq2d 2474 . . . 4
3130rabbidv 3053 . . 3
3228, 31sylan9eqr 2467 . 2
33 df-fn 5574 . 2
3427, 32, 33sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369  wal 1405   wceq 1407   wcel 1844  wmo 2241  crab 2760  cvv 3061   class class class wbr 4397  copab 4454   cdm 4825   wrel 4830   wfun 5565   wfn 5566  (class class class)co 6280  cc 9522   cmin 9843   cshi 13050 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-sub 9845  df-shft 13051 This theorem is referenced by:  shftf  13063  seqshft  13069  uzmptshftfval  36112
 Copyright terms: Public domain W3C validator