HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Structured version   Unicode version

Theorem shatomistici 27053
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shatomistici  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  <->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
32sheli 25904 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
4 spansnsh 26252 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
5 spanid 26038 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  SH  ->  ( span `  ( span `  { y } ) )  =  (
span `  { y } ) )
63, 4, 53syl 20 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) )  =  ( span `  {
y } ) )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  =  ( span `  { y } ) )
8 spansna 27042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
93, 8sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
10 spansnss 26262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  ->  ( span `  {
y } )  C_  A )
112, 10mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  { y } )  C_  A )
1211adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  A
)
13 sseq1 3525 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  C_  A  <->  (
span `  { y } )  C_  A
) )
1413elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( ( span `  { y } )  e. HAtoms  /\  ( span `  { y } )  C_  A )
)
159, 12, 14sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
16 elssuni 4275 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  { y } )  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
17 atssch 27035 . . . . . . . . . . 11  |- HAtoms  C_  CH
18 chsssh 25916 . . . . . . . . . . 11  |-  CH  C_  SH
1917, 18sstri 3513 . . . . . . . . . 10  |- HAtoms  C_  SH
20 rabss2 3583 . . . . . . . . . 10  |-  (HAtoms  C_  SH  ->  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
21 uniss 4266 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A }  ->  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A } )
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }
23 unimax 4281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  SH  ->  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A )
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A
252shssii 25903 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ~H
2624, 25eqsstri 3534 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H
2722, 26sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  ~H
28 spanss 26039 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
~H  /\  ( span `  { y } ) 
C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
2927, 28mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  C_  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
3015, 16, 293syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  C_  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
317, 30eqsstr3d 3539 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
32 spansnid 26254 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
333, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  { y } ) )
3531, 34sseldd 3505 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
36 spancl 26027 . . . . . 6  |-  ( U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  ~H  ->  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  SH )
37 sh0 25906 . . . . . 6  |-  ( (
span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  SH  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
3827, 36, 37mp2b 10 . . . . 5  |-  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
401, 35, 39pm2.61ne 2782 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
4140ssriv 3508 . 2  |-  A  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
42 spanss 26039 . . . 4  |-  ( ( U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H  /\  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }
)  ->  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } ) )
4326, 22, 42mp2an 672 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
4424fveq2i 5869 . . . 4  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  (
span `  A )
45 spanid 26038 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
462, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
4744, 46eqtri 2496 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  A
4843, 47sseqtri 3536 . 2  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  A
4941, 48eqssi 3520 1  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245   ` cfv 5588   ~Hchil 25609   0hc0v 25614   SHcsh 25618   CHcch 25619   spancspn 25622  HAtomscat 25655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cc 8816  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573  ax-hilex 25689  ax-hfvadd 25690  ax-hvcom 25691  ax-hvass 25692  ax-hv0cl 25693  ax-hvaddid 25694  ax-hfvmul 25695  ax-hvmulid 25696  ax-hvmulass 25697  ax-hvdistr1 25698  ax-hvdistr2 25699  ax-hvmul0 25700  ax-hfi 25769  ax-his1 25772  ax-his2 25773  ax-his3 25774  ax-his4 25775  ax-hcompl 25892
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-cnfld 18232  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cld 19326  df-ntr 19327  df-cls 19328  df-nei 19405  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-lm 19536  df-haus 19622  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-fil 20174  df-fm 20266  df-flim 20267  df-flf 20268  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652  df-cfil 21521  df-cau 21522  df-cmet 21523  df-grpo 24966  df-gid 24967  df-ginv 24968  df-gdiv 24969  df-ablo 25057  df-subgo 25077  df-vc 25212  df-nv 25258  df-va 25261  df-ba 25262  df-sm 25263  df-0v 25264  df-vs 25265  df-nmcv 25266  df-ims 25267  df-dip 25384  df-ssp 25408  df-ph 25501  df-cbn 25552  df-hnorm 25658  df-hba 25659  df-hvsub 25661  df-hlim 25662  df-hcau 25663  df-sh 25897  df-ch 25912  df-oc 25943  df-ch0 25944  df-span 26000  df-cv 26971  df-at 27030
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator