HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shatomistici Structured version   Unicode version

Theorem shatomistici 27849
Description: The lattice of Hilbert subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 26-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
shatomistic.1  |-  A  e.  SH
Assertion
Ref Expression
shatomistici  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem shatomistici
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2501 . . . 4  |-  ( y  =  0h  ->  (
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  <->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) ) )
2 shatomistic.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  SH
32sheli 26702 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ~H )
4 spansnsh 27049 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
5 spanid 26835 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  SH  ->  ( span `  ( span `  { y } ) )  =  (
span `  { y } ) )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) )  =  ( span `  {
y } ) )
76adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  =  ( span `  { y } ) )
8 spansna 27838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
93, 8sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
10 spansnss 27059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  SH  /\  y  e.  A )  ->  ( span `  {
y } )  C_  A )
112, 10mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( span `  { y } )  C_  A )
1211adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  A
)
13 sseq1 3491 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  C_  A  <->  (
span `  { y } )  C_  A
) )
1413elrab 3235 . . . . . . . 8  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  <->  ( ( span `  { y } )  e. HAtoms  /\  ( span `  { y } )  C_  A )
)
159, 12, 14sylanbrc 668 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
16 elssuni 4251 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  e.  {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  { y } )  C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
17 atssch 27831 . . . . . . . . . . 11  |- HAtoms  C_  CH
18 chsssh 26713 . . . . . . . . . . 11  |-  CH  C_  SH
1917, 18sstri 3479 . . . . . . . . . 10  |- HAtoms  C_  SH
20 rabss2 3550 . . . . . . . . . 10  |-  (HAtoms  C_  SH  ->  { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
21 uniss 4243 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  { x  e.  SH  |  x  C_  A }  ->  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A } )
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }
23 unimax 4257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  SH  ->  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A )
242, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  =  A
252shssii 26701 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ~H
2624, 25eqsstri 3500 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H
2722, 26sstri 3479 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_  ~H
28 spanss 26836 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  C_ 
~H  /\  ( span `  { y } ) 
C_  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
2927, 28mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( (
span `  { y } )  C_  U. {
x  e. HAtoms  |  x  C_  A }  ->  ( span `  ( span `  {
y } ) ) 
C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
3015, 16, 293syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  ( span `  { y } ) )  C_  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
317, 30eqsstr3d 3505 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } ) )
32 spansnid 27051 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
333, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
3433adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  { y } ) )
3531, 34sseldd 3471 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  y  =/=  0h )  -> 
y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
36 spancl 26824 . . . . . 6  |-  ( U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  ~H  ->  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )  e.  SH )
37 sh0 26704 . . . . . 6  |-  ( (
span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )  e.  SH  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
) )
3827, 36, 37mp2b 10 . . . . 5  |-  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  0h  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
401, 35, 39pm2.61ne 2746 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } ) )
4140ssriv 3474 . 2  |-  A  C_  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A } )
42 spanss 26836 . . . 4  |-  ( ( U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }  C_  ~H  /\  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A }  C_  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A }
)  ->  ( span ` 
U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } ) )
4326, 22, 42mp2an 676 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  ( span ` 
U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )
4424fveq2i 5884 . . . 4  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  (
span `  A )
45 spanid 26835 . . . . 5  |-  ( A  e.  SH  ->  ( span `  A )  =  A )
462, 45ax-mp 5 . . . 4  |-  ( span `  A )  =  A
4744, 46eqtri 2458 . . 3  |-  ( span `  U. { x  e.  SH  |  x  C_  A } )  =  A
4843, 47sseqtri 3502 . 2  |-  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x  C_  A }
)  C_  A
4941, 48eqssi 3486 1  |-  A  =  ( span `  U. { x  e. HAtoms  |  x 
C_  A } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   {crab 2786    C_ wss 3442   {csn 4002   U.cuni 4222   ` cfv 5601   ~Hchil 26407   0hc0v 26412   SHcsh 26416   CHcch 26417   spancspn 26420  HAtomscat 26453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573  ax-hcompl 26690
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ssp 26206  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-hcau 26461  df-sh 26695  df-ch 26709  df-oc 26740  df-ch0 26741  df-span 26797  df-cv 27767  df-at 27826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator