Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sharhght Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sharhght 38620
 Description: Let be a triangle, and let lie on the line . Then (doubled) areas of triangles and relate as lengths of corresponding bases and . (Contributed by Saveliy Skresanov, 23-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sharhght.sigar
sharhght.a
sharhght.b
Assertion
Ref Expression
sharhght
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sharhght
StepHypRef Expression
1 sharhght.a . . . . . . . . 9
21simp3d 1044 . . . . . . . 8
31simp1d 1042 . . . . . . . 8
42, 3subcld 10005 . . . . . . 7
54adantr 472 . . . . . 6
6 sharhght.b . . . . . . . . 9
76simpld 466 . . . . . . . 8
87, 3subcld 10005 . . . . . . 7
98adantr 472 . . . . . 6
10 sharhght.sigar . . . . . . 7
1110sigarim 38606 . . . . . 6
125, 9, 11syl2anc 673 . . . . 5
1312recnd 9687 . . . 4
1413mul01d 9850 . . 3
151simp2d 1043 . . . . . 6
1615adantr 472 . . . . 5
17 simpr 468 . . . . 5
1816, 17subeq0bd 10066 . . . 4
1918oveq2d 6324 . . 3
202, 15subcld 10005 . . . . . . . 8
2120adantr 472 . . . . . . 7
227, 15subcld 10005 . . . . . . . 8
2322adantr 472 . . . . . . 7
2410sigarval 38605 . . . . . . 7
2521, 23, 24syl2anc 673 . . . . . 6
267adantr 472 . . . . . . . . . 10
2717eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10
2826, 27subeq0bd 10066 . . . . . . . . 9
2928oveq2d 6324 . . . . . . . 8
3021cjcld 13336 . . . . . . . . 9
3130mul01d 9850 . . . . . . . 8
3229, 31eqtrd 2505 . . . . . . 7
3332fveq2d 5883 . . . . . 6
34 0red 9662 . . . . . . 7
3534reim0d 13365 . . . . . 6
3625, 33, 353eqtrd 2509 . . . . 5
3736oveq1d 6323 . . . 4
383adantr 472 . . . . . 6
3938, 26subcld 10005 . . . . 5
4039mul02d 9849 . . . 4
4137, 40eqtrd 2505 . . 3
4214, 19, 413eqtr4d 2515 . 2
432adantr 472 . . . . . . . . 9
4415adantr 472 . . . . . . . . 9
453adantr 472 . . . . . . . . 9
4643, 44, 45npncand 10029 . . . . . . . 8
4746oveq1d 6323 . . . . . . 7
4843, 44subcld 10005 . . . . . . . 8
498adantr 472 . . . . . . . 8
5044, 45subcld 10005 . . . . . . . 8
5110sigaraf 38608 . . . . . . . 8
5248, 49, 50, 51syl3anc 1292 . . . . . . 7
5347, 52eqtr3d 2507 . . . . . 6
546simprd 470 . . . . . . . . 9
5554adantr 472 . . . . . . . 8
567adantr 472 . . . . . . . . 9
5710sigarperm 38615 . . . . . . . . 9
5845, 44, 56, 57syl3anc 1292 . . . . . . . 8
5955, 58eqtr3d 2507 . . . . . . 7
6059oveq2d 6324 . . . . . 6
6110sigarim 38606 . . . . . . . . 9
6248, 49, 61syl2anc 673 . . . . . . . 8
6362recnd 9687 . . . . . . 7
6463addid1d 9851 . . . . . 6
6553, 60, 643eqtr2d 2511 . . . . 5
6644, 56negsubdi2d 10021 . . . . . . . . . . . 12
6766eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11
6867oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
6944, 56subcld 10005 . . . . . . . . . . 11
70 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
7170neqned 2650 . . . . . . . . . . . 12
7244, 56, 71subne0d 10014 . . . . . . . . . . 11
7369, 69, 72divnegd 10418 . . . . . . . . . 10
7469, 72dividd 10403 . . . . . . . . . . 11
7574negeqd 9889 . . . . . . . . . 10
7668, 73, 753eqtr2d 2511 . . . . . . . . 9
7776oveq1d 6323 . . . . . . . 8
7845, 56subcld 10005 . . . . . . . . 9
7978mulm1d 10091 . . . . . . . 8
8045, 56negsubdi2d 10021 . . . . . . . 8
8177, 79, 803eqtrd 2509 . . . . . . 7
8256, 44subcld 10005 . . . . . . . 8
8382, 69, 78, 72div32d 10428 . . . . . . 7
8481, 83eqtr3d 2507 . . . . . 6
8584oveq2d 6324 . . . . 5
8656, 45, 443jca 1210 . . . . . . 7
8710, 86, 70, 55sigardiv 38616 . . . . . 6
8810sigarls 38612 . . . . . 6
8948, 82, 87, 88syl3anc 1292 . . . . 5
9065, 85, 893eqtrd 2509 . . . 4
9190oveq1d 6323 . . 3
9210sigarim 38606 . . . . . 6
9392recnd 9687 . . . . 5
9448, 82, 93syl2anc 673 . . . 4
9578, 69, 72divcld 10405 . . . 4
9694, 95, 69mulassd 9684 . . 3
9778, 69, 72divcan1d 10406 . . . 4
9897oveq2d 6324 . . 3
9991, 96, 983eqtrd 2509 . 2
10042, 99pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  ccj 13236  cim 13238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-2 10690  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241 This theorem is referenced by:  cevathlem2  38623
 Copyright terms: Public domain W3C validator