Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp2rid2 Structured version   Unicode version

Theorem sgrp2rid2 16023
 Description: A small semigroup (with two elements) with two right identities which are different if . (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s
mgm2nsgrp.b
sgrp2nmnd.o
sgrp2nmnd.p
Assertion
Ref Expression
sgrp2rid2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,   , ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem sgrp2rid2
StepHypRef Expression
1 prid1g 4121 . . . 4
2 mgm2nsgrp.s . . . 4
31, 2syl6eleqr 2542 . . 3
4 prid2g 4122 . . . 4
54, 2syl6eleqr 2542 . . 3
6 simpl 457 . . . . 5
7 mgm2nsgrp.b . . . . . 6
8 sgrp2nmnd.o . . . . . 6
9 sgrp2nmnd.p . . . . . 6
102, 7, 8, 9sgrp2nmndlem2 16021 . . . . 5
116, 10syldan 470 . . . 4
12 oveq1 6288 . . . . . . 7
13 id 22 . . . . . . 7
1412, 13eqeq12d 2465 . . . . . 6
1511, 14syl5ib 219 . . . . 5
16 simprl 756 . . . . . . 7
17 simprr 757 . . . . . . 7
18 df-ne 2640 . . . . . . . . 9
1918biimpri 206 . . . . . . . 8
2019adantr 465 . . . . . . 7
212, 7, 8, 9sgrp2nmndlem3 16022 . . . . . . 7
2216, 17, 20, 21syl3anc 1229 . . . . . 6
2322ex 434 . . . . 5
2415, 23pm2.61i 164 . . . 4
252, 7, 8, 9sgrp2nmndlem2 16021 . . . . 5
2613, 13oveq12d 6299 . . . . . . . 8
2726, 13eqeq12d 2465 . . . . . . 7
2811, 27syl5ib 219 . . . . . 6
292, 7, 8, 9sgrp2nmndlem3 16022 . . . . . . . 8
3017, 17, 20, 29syl3anc 1229 . . . . . . 7
3130ex 434 . . . . . 6
3228, 31pm2.61i 164 . . . . 5
3325, 32jca 532 . . . 4
3411, 24, 33jca31 534 . . 3
353, 5, 34syl2an 477 . 2
362raleqi 3044 . . . . 5
37 oveq1 6288 . . . . . . 7
38 id 22 . . . . . . 7
3937, 38eqeq12d 2465 . . . . . 6
40 oveq1 6288 . . . . . . 7
41 id 22 . . . . . . 7
4240, 41eqeq12d 2465 . . . . . 6
4339, 42ralprg 4063 . . . . 5
4436, 43syl5bb 257 . . . 4
4544ralbidv 2882 . . 3
462raleqi 3044 . . . 4
47 oveq2 6289 . . . . . . 7
4847eqeq1d 2445 . . . . . 6
49 oveq2 6289 . . . . . . 7
5049eqeq1d 2445 . . . . . 6
5148, 50anbi12d 710 . . . . 5
52 oveq2 6289 . . . . . . 7
5352eqeq1d 2445 . . . . . 6
54 oveq2 6289 . . . . . . 7
5554eqeq1d 2445 . . . . . 6
5653, 55anbi12d 710 . . . . 5
5751, 56ralprg 4063 . . . 4
5846, 57syl5bb 257 . . 3
5945, 58bitrd 253 . 2
6035, 59mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  cif 3926  cpr 4016  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  cbs 14614   cplusg 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pr 4676 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286 This theorem is referenced by:  sgrp2rid2ex  16024
 Copyright terms: Public domain W3C validator