Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sgrp1 16612
 Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sgrp1.m
Assertion
Ref Expression
sgrp1 SGrp

Proof of Theorem sgrp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrp1.m . . 3
21mgm1 16578 . 2 Mgm
3 df-ov 6311 . . . . . 6
4 opex 4664 . . . . . . 7
5 fvsng 6114 . . . . . . 7
64, 5mpan 684 . . . . . 6
73, 6syl5eq 2517 . . . . 5
87oveq1d 6323 . . . 4
97oveq2d 6324 . . . 4
108, 9eqtr4d 2508 . . 3
11 oveq1 6315 . . . . . . . 8
1211oveq1d 6323 . . . . . . 7
13 oveq1 6315 . . . . . . 7
1412, 13eqeq12d 2486 . . . . . 6
15142ralbidv 2832 . . . . 5
1615ralsng 3997 . . . 4
17 oveq2 6316 . . . . . . . 8
1817oveq1d 6323 . . . . . . 7
19 oveq1 6315 . . . . . . . 8
2019oveq2d 6324 . . . . . . 7
2118, 20eqeq12d 2486 . . . . . 6
2221ralbidv 2829 . . . . 5
2322ralsng 3997 . . . 4
24 oveq2 6316 . . . . . 6
25 oveq2 6316 . . . . . . 7
2625oveq2d 6324 . . . . . 6
2724, 26eqeq12d 2486 . . . . 5
2827ralsng 3997 . . . 4
2916, 23, 283bitrd 287 . . 3
3010, 29mpbird 240 . 2
31 snex 4641 . . . 4
321grpbase 15315 . . . 4
3331, 32ax-mp 5 . . 3
34 snex 4641 . . . 4
351grpplusg 15316 . . . 4
3634, 35ax-mp 5 . . 3
3733, 36issgrp 16606 . 2 SGrp Mgm
382, 30, 37sylanbrc 677 1 SGrp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csn 3959  cpr 3961  cop 3965  cfv 5589  (class class class)co 6308  cnx 15196  cbs 15199   cplusg 15268  Mgmcmgm 16564  SGrpcsgrp 16604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mgm 16566  df-sgrp 16605 This theorem is referenced by:  mnd1  16655
 Copyright terms: Public domain W3C validator