MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp1 Structured version   Unicode version

Theorem sgrp1 16134
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sgrp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
sgrp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. SGrp )

Proof of Theorem sgrp1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mgm1 16100 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )
3 df-ov 6237 . . . . . 6  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opex 4654 . . . . . . 7  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
5 fvsng 6041 . . . . . . 7  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
64, 5mpan 668 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
73, 6syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
87oveq1d 6249 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
97oveq2d 6250 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108, 9eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
11 oveq1 6241 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) )
1211oveq1d 6249 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
13 oveq1 6241 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
1412, 13eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
15142ralbidv 2847 . . . . 5  |-  ( x  =  I  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
1615ralsng 4006 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
17 oveq2 6242 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1817oveq1d 6249 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
19 oveq1 6241 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )
2019oveq2d 6250 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( y  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2221ralbidv 2842 . . . . 5  |-  ( y  =  I  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2322ralsng 4006 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
24 oveq2 6242 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
25 oveq2 6242 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2625oveq2d 6250 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
2724, 26eqeq12d 2424 . . . . 5  |-  ( z  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2827ralsng 4006 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2916, 23, 283bitrd 279 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3010, 29mpbird 232 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
31 snex 4631 . . . 4  |-  { I }  e.  _V
321grpbase 14845 . . . 4  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  { I }  =  ( Base `  M )
34 snex 4631 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
351grpplusg 14846 . . . 4  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
3634, 35ax-mp 5 . . 3  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
3733, 36issgrp 16128 . 2  |-  ( M  e. SGrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
382, 30, 37sylanbrc 662 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. SGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   _Vcvv 3058   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   ndxcnx 14730   Basecbs 14733   +g cplusg 14801  Mgmcmgm 16086  SGrpcsgrp 16126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-plusg 14814  df-mgm 16088  df-sgrp 16127
This theorem is referenced by:  mnd1  16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator