MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgrp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sgrp1 16612
Description: The structure with one element and the only closed internal operation for a singleton is a semigroup. (Contributed by AV, 10-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sgrp1.m  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
Assertion
Ref Expression
sgrp1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. SGrp )

Proof of Theorem sgrp1
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sgrp1.m . . 3  |-  M  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { I } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. I ,  I >. ,  I >. } >. }
21mgm1 16578 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. Mgm )
3 df-ov 6311 . . . . . 6  |-  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )
4 opex 4664 . . . . . . 7  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
5 fvsng 6114 . . . . . . 7  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  I  e.  V )  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
64, 5mpan 684 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  ( { <. <. I ,  I >. ,  I >. } `  <. I ,  I >. )  =  I )
73, 6syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  I )
87oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
97oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) )
108, 9eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
)  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
11 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) )
1211oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
13 oveq1 6315 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
1412, 13eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  (
( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
15142ralbidv 2832 . . . . 5  |-  ( x  =  I  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
1615ralsng 3997 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. y  e.  { I } A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
17 oveq2 6316 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
1817oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )
19 oveq1 6315 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  I  ->  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )
2019oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( y  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
2118, 20eqeq12d 2486 . . . . . 6  |-  ( y  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2221ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( y  =  I  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( y { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
2322ralsng 3997 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  A. z  e.  { I }  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
24 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) )
25 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) )
2625oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( z  =  I  ->  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) )
2724, 26eqeq12d 2486 . . . . 5  |-  ( z  =  I  ->  (
( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2827ralsng 3997 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. z  e.  { I }  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I
) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  ( I { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
2916, 23, 283bitrd 287 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) )  <->  ( (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } I )  =  ( I { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
I { <. <. I ,  I >. ,  I >. } I ) ) ) )
3010, 29mpbird 240 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  A. x  e.  { I } A. y  e.  { I } A. z  e.  {
I }  ( ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) )
31 snex 4641 . . . 4  |-  { I }  e.  _V
321grpbase 15315 . . . 4  |-  ( { I }  e.  _V  ->  { I }  =  ( Base `  M )
)
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  { I }  =  ( Base `  M )
34 snex 4641 . . . 4  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V
351grpplusg 15316 . . . 4  |-  ( {
<. <. I ,  I >. ,  I >. }  e.  _V  ->  { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M
) )
3634, 35ax-mp 5 . . 3  |-  { <. <.
I ,  I >. ,  I >. }  =  ( +g  `  M )
3733, 36issgrp 16606 . 2  |-  ( M  e. SGrp 
<->  ( M  e. Mgm  /\  A. x  e.  { I } A. y  e.  {
I } A. z  e.  { I }  (
( x { <. <.
I ,  I >. ,  I >. } y ) { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z )  =  ( x { <. <. I ,  I >. ,  I >. }  (
y { <. <. I ,  I >. ,  I >. } z ) ) ) )
382, 30, 37sylanbrc 677 1  |-  ( I  e.  V  ->  M  e. SGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   {csn 3959   {cpr 3961   <.cop 3965   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Mgmcmgm 16564  SGrpcsgrp 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mgm 16566  df-sgrp 16605
This theorem is referenced by:  mnd1  16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator