Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnsf Structured version   Unicode version

Theorem sgnsf 27543
Description: The sign function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sgnsval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
sgnsval.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
sgnsval.l  |-  .<  =  ( lt `  R )
sgnsval.s  |-  S  =  (sgns `  R )
Assertion
Ref Expression
sgnsf  |-  ( R  e.  V  ->  S : B --> { -u 1 ,  0 ,  1 } )

Proof of Theorem sgnsf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9602 . . . . 5  |-  0  e.  _V
21tpid2 4147 . . . 4  |-  0  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }
3 1ex 9603 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
43tpid3 4149 . . . . 5  |-  1  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }
5 negex 9830 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  _V
65tpid1 4146 . . . . 5  |-  -u 1  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }
74, 6keepel 4013 . . . 4  |-  if (  .0.  .<  x , 
1 ,  -u 1
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 }
82, 7keepel 4013 . . 3  |-  if ( x  =  .0.  , 
0 ,  if (  .0.  .<  x , 
1 ,  -u 1
) )  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 }
98a1i 11 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  if ( x  =  .0.  ,  0 ,  if (  .0.  .<  x ,  1 ,  -u
1 ) )  e. 
{ -u 1 ,  0 ,  1 } )
10 sgnsval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
11 sgnsval.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 sgnsval.l . . 3  |-  .<  =  ( lt `  R )
13 sgnsval.s . . 3  |-  S  =  (sgns `  R )
1410, 11, 12, 13sgnsv 27541 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  S  =  ( x  e.  B  |->  if ( x  =  .0.  ,  0 ,  if (  .0. 
.<  x ,  1 , 
-u 1 ) ) ) )
1510, 11, 12, 13sgnsval 27542 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( S `  x
)  =  if ( x  =  .0.  , 
0 ,  if (  .0.  .<  x , 
1 ,  -u 1
) ) )
1615, 8syl6eqel 2563 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  ( S `  x
)  e.  { -u
1 ,  0 ,  1 } )
179, 14, 16fmpt2d 6062 1  |-  ( R  e.  V  ->  S : B --> { -u 1 ,  0 ,  1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3945   {ctp 4037   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594   0cc0 9504   1c1 9505   -ucneg 9818   Basecbs 14507   0gc0g 14712   ltcplt 15445  sgnscsgns 27539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-mulcl 9566  ax-i2m1 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-neg 9820  df-sgns 27540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator