MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnp Structured version   Unicode version

Theorem sgnp 13072
Description: Proof that signum of positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnp  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  1 )

Proof of Theorem sgnp
StepHypRef Expression
1 sgnval 13070 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
3 0xr 9670 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
4 xrltne 11419 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  < 
A )  ->  A  =/=  0 )
53, 4mp3an1 1313 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
65neneqd 2605 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  -.  A  =  0 )
76iffalsed 3896 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
8 xrltnsym 11396 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
0  <  A  ->  -.  A  <  0 ) )
93, 8mpan 668 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <  A  ->  -.  A  <  0 ) )
109imp 427 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  -.  A  <  0 )
1110iffalsed 3896 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
122, 7, 113eqtrd 2447 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   ifcif 3885   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   0cc0 9522   1c1 9523   RR*cxr 9657    < clt 9658   -ucneg 9842  sgncsgn 13068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-neg 9844  df-sgn 13069
This theorem is referenced by:  sgnrrp  13073  sgn1  13074  sgnpnf  13075  sgncl  28983  sgnmul  28987  sgnmulrp2  28988  sgnsub  28989  sgnpbi  28991
  Copyright terms: Public domain W3C validator