MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgnp Structured version   Unicode version

Theorem sgnp 12683
Description: Proof that signum of positive extended real is 1. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgnp  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  1 )

Proof of Theorem sgnp
StepHypRef Expression
1 sgnval 12681 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) ) )
3 0xr 9533 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
4 xrltne 11240 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  0  < 
A )  ->  A  =/=  0 )
53, 4mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
65neneqd 2651 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  -.  A  =  0 )
7 iffalse 3899 . . 3  |-  ( -.  A  =  0  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  if ( A  =  0 ,  0 ,  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )  =  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 ) )
9 xrltnsym 11217 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
0  <  A  ->  -.  A  <  0 ) )
103, 9mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( 0  <  A  ->  -.  A  <  0 ) )
1110imp 429 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  -.  A  <  0 )
12 iffalse 3899 . . 3  |-  ( -.  A  <  0  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  if ( A  <  0 ,  -u 1 ,  1 )  =  1 )
142, 8, 133eqtrd 2496 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  (sgn `  A )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   ifcif 3891   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   0cc0 9385   1c1 9386   RR*cxr 9520    < clt 9521   -ucneg 9699  sgncsgn 12679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-neg 9701  df-sgn 12680
This theorem is referenced by:  sgnrrp  12684  sgn1  12685  sgnpnf  12686  sgncl  27057  sgnmul  27061  sgnmulrp2  27062  sgnsub  27063  sgnpbi  27065  sgnsgn  27067
  Copyright terms: Public domain W3C validator