Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgnclre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sgnclre 29459
Description: Closure of the signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgnclre  |-  ( A  e.  RR  ->  (sgn `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem sgnclre
StepHypRef Expression
1 neg1rr 10742 . . 3  |-  -u 1  e.  RR
2 0re 9669 . . 3  |-  0  e.  RR
3 1re 9668 . . 3  |-  1  e.  RR
4 tpssi 4151 . . 3  |-  ( (
-u 1  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  { -u 1 ,  0 ,  1 } 
C_  RR )
51, 2, 3, 4mp3an 1373 . 2  |-  { -u
1 ,  0 ,  1 }  C_  RR
6 rexr 9712 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
7 sgncl 29458 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  (sgn `  A )  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 } )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (sgn `  A )  e.  { -u 1 ,  0 ,  1 } )
95, 8sseldi 3442 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (sgn `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1898    C_ wss 3416   {ctp 3984   ` cfv 5601   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   RR*cxr 9700   -ucneg 9887  sgncsgn 13198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-sub 9888  df-neg 9889  df-sgn 13199
This theorem is referenced by:  sgnmul  29462  sgnmulrp2  29463  signstf0  29506  signstfvneq0  29510  signsvfn  29520  signsvfpn  29523  signsvfnn  29524
  Copyright terms: Public domain W3C validator