MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Structured version   Unicode version

Theorem sgmval 23282
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^c  A ) )
Distinct variable groups:    k, p, A    B, k, p

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  n  =  B )
21breq2d 4465 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  ( p  ||  n  <->  p 
||  B ) )
32rabbidv 3110 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  =  { p  e.  NN  |  p  ||  B }
)
4 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  x  =  A )
54oveq2d 6311 . . 3  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  ( k  ^c  x )  =  ( k  ^c  A ) )
63, 5sumeq12dv 13508 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^c  x )  =  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^c  A ) )
7 df-sgm 23241 . 2  |-  sigma  =  ( x  e.  CC ,  n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n } 
( k  ^c 
x ) )
8 sumex 13490 . 2  |-  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^c  A )  e.  _V
96, 7, 8ovmpt2a 6428 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^c  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   CCcc 9502   NNcn 10548   sum_csu 13488    || cdivides 13864    ^c ccxp 22809    sigma csgm 23235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-seq 12088  df-sum 13489  df-sgm 23241
This theorem is referenced by:  sgmval2  23283  sgmppw  23338  sgmmul  23342  perfectlem2  23371
  Copyright terms: Public domain W3C validator