MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmval Structured version   Unicode version

Theorem sgmval 22480
Description: The value of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^c  A ) )
Distinct variable groups:    k, p, A    B, k, p

Proof of Theorem sgmval
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  n  =  B )
21breq2d 4304 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  ( p  ||  n  <->  p 
||  B ) )
32rabbidv 2964 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  =  { p  e.  NN  |  p  ||  B }
)
4 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  x  =  A )
54oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  /\  k  e. 
{ p  e.  NN  |  p  ||  n }
)  ->  ( k  ^c  x )  =  ( k  ^c  A ) )
63, 5sumeq12dv 13183 . 2  |-  ( ( x  =  A  /\  n  =  B )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^c  x )  =  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^c  A ) )
7 df-sgm 22439 . 2  |-  sigma  =  ( x  e.  CC ,  n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n } 
( k  ^c 
x ) )
8 sumex 13165 . 2  |-  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k  ^c  A )  e.  _V
96, 7, 8ovmpt2a 6221 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k  ^c  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   NNcn 10322   sum_csu 13163    || cdivides 13535    ^c ccxp 22007    sigma csgm 22433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-sum 13164  df-sgm 22439
This theorem is referenced by:  sgmval2  22481  sgmppw  22536  sgmmul  22540  perfectlem2  22569
  Copyright terms: Public domain W3C validator