MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmss Structured version   Unicode version

Theorem sgmss 22443
Description: The set of divisors of a number is a subset of a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
sgmss  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A ) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem sgmss
StepHypRef Expression
1 nnz 10667 . . . . 5  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  ZZ )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN )
3 dvdsle 13577 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( p  ||  A  ->  p  <_  A )
)
41, 2, 3syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  ||  A  ->  p  <_  A )
)
5 ibar 504 . . . . . 6  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  <_  A  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  A ) ) )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  <_  A  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  A ) ) )
7 nnz 10667 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
9 fznn 11525 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
p  e.  ( 1 ... A )  <->  ( p  e.  NN  /\  p  <_  A ) ) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  e.  ( 1 ... A )  <-> 
( p  e.  NN  /\  p  <_  A )
) )
116, 10bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  <_  A  <->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
124, 11sylibd 214 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( p  ||  A  ->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
1312ralrimiva 2798 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  A. p  e.  NN  ( p  ||  A  ->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
14 rabss 3428 . 2  |-  ( { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A
)  <->  A. p  e.  NN  ( p  ||  A  ->  p  e.  ( 1 ... A ) ) )
1513, 14sylibr 212 1  |-  ( A  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  A }  C_  ( 1 ... A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718    C_ wss 3327   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   1c1 9282    <_ cle 9418   NNcn 10321   ZZcz 10645   ...cfz 11436    || cdivides 13534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-dvds 13535
This theorem is referenced by:  prmdvdsfi  22444  0sgm  22481  sgmf  22482  sgmnncl  22484  mumul  22518  sqff1o  22519  fsumdvdsdiag  22523  fsumdvdscom  22524  dvdsflsumcom  22527  musum  22530  musumsum  22531  muinv  22532  fsumdvdsmul  22534  vmasum  22554  perfectlem2  22568  dchrvmasumlem1  22743  dchrisum0ff  22755  dchrisum0  22768  vmalogdivsum2  22786  logsqvma  22790  logsqvma2  22791  selberg  22796  selberg34r  22819  pntsval2  22824  pntrlog2bndlem1  22825  phisum  29565
  Copyright terms: Public domain W3C validator