MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmnncl Structured version   Unicode version

Theorem sgmnncl 23538
Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmnncl  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  e.  NN )

Proof of Theorem sgmnncl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10804 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  ZZ )
2 sgmval2 23534 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A ) )
31, 2sylan 469 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A ) )
4 fzfid 11986 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1 ... B
)  e.  Fin )
5 sgmss 23497 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  C_  ( 1 ... B ) )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )
7 ssfi 7656 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... B
)  e.  Fin  /\  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  e.  Fin )
84, 6, 7syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  e.  Fin )
9 elrabi 3179 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  ->  k  e.  NN )
10 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  NN0 )
11 nnexpcl 12082 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( k ^ A
)  e.  NN )
129, 10, 11syl2anr 476 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  /\  k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B } )  ->  ( k ^ A )  e.  NN )
1312nnzd 10883 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  /\  k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B } )  ->  ( k ^ A )  e.  ZZ )
148, 13fsumzcl 13559 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A )  e.  ZZ )
15 nnz 10803 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
16 iddvds 13999 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  ||  B )
1715, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  B  ||  B )
18 breq1 4370 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  B  ->  (
p  ||  B  <->  B  ||  B
) )
1918rspcev 3135 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  B  ||  B )  ->  E. p  e.  NN  p  ||  B )
2017, 19mpdan 666 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  NN  p  ||  B
)
21 rabn0 3732 . . . . . . 7  |-  ( { p  e.  NN  |  p  ||  B }  =/=  (/)  <->  E. p  e.  NN  p  ||  B )
2220, 21sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  =/=  (/) )
2322adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  =/=  (/) )
2412nnrpd 11175 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  /\  k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B } )  ->  ( k ^ A )  e.  RR+ )
258, 23, 24fsumrpcl 13561 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A )  e.  RR+ )
2625rpgt0d 11180 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B } 
( k ^ A
) )
27 elnnz 10791 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  B }  ( k ^ A )  e.  NN  <->  (
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A )  e.  ZZ  /\  0  <  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A ) ) )
2814, 26, 27sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  B }  (
k ^ A )  e.  NN )
293, 28eqeltrd 2470 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  sigma  B )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733   {crab 2736    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   0cc0 9403   1c1 9404    < clt 9539   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593   ^cexp 12069   sum_csu 13510    || cdvds 13988    sigma csgm 23486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-dvds 13989  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-cxp 23030  df-sgm 23492
This theorem is referenced by:  perfectlem1  23621  perfectlem2  23622  perfectALTVlem1  32543  perfectALTVlem2  32544
  Copyright terms: Public domain W3C validator