MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmmul Structured version   Unicode version

Theorem sgmmul 22515
Description: The divisor function for fixed parameter  A is a multiplicative function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmmul  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( A  sigma  ( M  x.  N ) )  =  ( ( A  sigma  M )  x.  ( A  sigma  N ) ) )

Proof of Theorem sgmmul
Dummy variables  i 
j  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  M  e.  NN )
2 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  N  e.  NN )
3 simpr3 996 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  1 )
4 eqid 2438 . . 3  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  M }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  M }
5 eqid 2438 . . 3  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
6 eqid 2438 . . 3  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N
) }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N ) }
7 ssrab2 3432 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  M }  C_  NN
8 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M } )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M } )
97, 8sseldi 3349 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M } )  ->  j  e.  NN )
109nncnd 10330 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M } )  ->  j  e.  CC )
11 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M } )  ->  A  e.  CC )
1210, 11cxpcld 22128 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M } )  ->  ( j  ^c  A )  e.  CC )
13 ssrab2 3432 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
1513, 14sseldi 3349 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  k  e.  NN )
1615nncnd 10330 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  k  e.  CC )
17 simpll 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A  e.  CC )
1816, 17cxpcld 22128 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( k  ^c  A )  e.  CC )
199adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
j  e.  NN )
2019nnred 10329 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
j  e.  RR )
2119nnnn0d 10628 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
j  e.  NN0 )
2221nn0ge0d 10631 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
0  <_  j )
2315adantrl 715 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
k  e.  NN )
2423nnred 10329 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
k  e.  RR )
2523nnnn0d 10628 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2625nn0ge0d 10631 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
0  <_  k )
27 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  ->  A  e.  CC )
2820, 22, 24, 26, 27mulcxpd 22148 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
( ( j  x.  k )  ^c  A )  =  ( ( j  ^c  A )  x.  (
k  ^c  A ) ) )
2928eqcomd 2443 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  /\  ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  M }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } ) )  -> 
( ( j  ^c  A )  x.  (
k  ^c  A ) )  =  ( ( j  x.  k
)  ^c  A ) )
30 oveq1 6093 . . 3  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  (
i  ^c  A )  =  ( ( j  x.  k )  ^c  A ) )
311, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 29, 30fsumdvdsmul 22510 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  M } 
( j  ^c  A )  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( k  ^c  A )
)  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N ) }  ( i  ^c  A ) )
32 sgmval 22455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN )  ->  ( A  sigma  M )  =  sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  M }  (
j  ^c  A ) )
331, 32syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( A  sigma  M )  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  M } 
( j  ^c  A ) )
34 sgmval 22455 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  sigma  N )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  (
k  ^c  A ) )
352, 34syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( A  sigma  N )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } 
( k  ^c  A ) )
3633, 35oveq12d 6104 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( ( A 
sigma  M )  x.  ( A  sigma  N ) )  =  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  M } 
( j  ^c  A )  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ( k  ^c  A )
) )
371, 2nnmulcld 10361 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( M  x.  N )  e.  NN )
38 sgmval 22455 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  x.  N
)  e.  NN )  ->  ( A  sigma  ( M  x.  N ) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N ) }  ( i  ^c  A ) )
3937, 38syldan 470 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( A  sigma  ( M  x.  N ) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( M  x.  N ) }  ( i  ^c  A ) )
4031, 36, 393eqtr4rd 2481 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  ( M  gcd  N )  =  1 ) )  ->  ( A  sigma  ( M  x.  N ) )  =  ( ( A  sigma  M )  x.  ( A  sigma  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2714   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   CCcc 9272   1c1 9275    x. cmul 9279   NNcn 10314   sum_csu 13155    || cdivides 13527    gcd cgcd 13682    ^c ccxp 21982    sigma csgm 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-sgm 22414
This theorem is referenced by:  perfect1  22542  perfectlem1  22543  perfectlem2  22544
  Copyright terms: Public domain W3C validator