MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmf Structured version   Unicode version

Theorem sgmf 23555
Description: The divisor function is a function into the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmf  |-  sigma  : ( CC  X.  NN ) --> CC

Proof of Theorem sgmf
Dummy variables  k  n  p  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12005 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  e.  Fin )
2 sgmss 23516 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
32adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
4 ssfi 7674 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  e.  Fin )
51, 3, 4syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  e.  Fin )
6 elrabi 3192 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  ->  k  e.  NN )
76nncnd 10486 . . . . 5  |-  ( k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n }  ->  k  e.  CC )
8 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN )  ->  x  e.  CC )
9 cxpcl 23161 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  ^c 
x )  e.  CC )
107, 8, 9syl2anr 476 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n } )  ->  ( k  ^c  x )  e.  CC )
115, 10fsumcl 13576 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  n  e.  NN )  -> 
sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^c  x )  e.  CC )
1211rgen2 2817 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. n  e.  NN  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^c  x )  e.  CC
13 df-sgm 23511 . . 3  |-  sigma  =  ( x  e.  CC ,  n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { p  e.  NN  |  p  ||  n } 
( k  ^c 
x ) )
1413fmpt2 6784 . 2  |-  ( A. x  e.  CC  A. n  e.  NN  sum_ k  e.  {
p  e.  NN  |  p  ||  n }  (
k  ^c  x )  e.  CC  <->  sigma  : ( CC  X.  NN ) --> CC )
1512, 14mpbi 208 1  |-  sigma  : ( CC  X.  NN ) --> CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    e. wcel 1836   A.wral 2742   {crab 2746    C_ wss 3402   class class class wbr 4380    X. cxp 4924   -->wf 5505  (class class class)co 6214   Fincfn 7453   CCcc 9419   1c1 9422   NNcn 10470   ...cfz 11611   sum_csu 13529    || cdvds 14007    ^c ccxp 23047    sigma csgm 23505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2016  ax-ext 2370  ax-rep 4491  ax-sep 4501  ax-nul 4509  ax-pow 4556  ax-pr 4614  ax-un 6509  ax-inf2 7990  ax-cnex 9477  ax-resscn 9478  ax-1cn 9479  ax-icn 9480  ax-addcl 9481  ax-addrcl 9482  ax-mulcl 9483  ax-mulrcl 9484  ax-mulcom 9485  ax-addass 9486  ax-mulass 9487  ax-distr 9488  ax-i2m1 9489  ax-1ne0 9490  ax-1rid 9491  ax-rnegex 9492  ax-rrecex 9493  ax-cnre 9494  ax-pre-lttri 9495  ax-pre-lttrn 9496  ax-pre-ltadd 9497  ax-pre-mulgt0 9498  ax-pre-sup 9499  ax-addf 9500  ax-mulf 9501
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2232  df-mo 2233  df-clab 2378  df-cleq 2384  df-clel 2387  df-nfc 2542  df-ne 2589  df-nel 2590  df-ral 2747  df-rex 2748  df-reu 2749  df-rmo 2750  df-rab 2751  df-v 3049  df-sbc 3266  df-csb 3362  df-dif 3405  df-un 3407  df-in 3409  df-ss 3416  df-pss 3418  df-nul 3725  df-if 3871  df-pw 3942  df-sn 3958  df-pr 3960  df-tp 3962  df-op 3964  df-uni 4177  df-int 4213  df-iun 4258  df-iin 4259  df-br 4381  df-opab 4439  df-mpt 4440  df-tr 4474  df-eprel 4718  df-id 4722  df-po 4727  df-so 4728  df-fr 4765  df-se 4766  df-we 4767  df-ord 4808  df-on 4809  df-lim 4810  df-suc 4811  df-xp 4932  df-rel 4933  df-cnv 4934  df-co 4935  df-dm 4936  df-rn 4937  df-res 4938  df-ima 4939  df-iota 5473  df-fun 5511  df-fn 5512  df-f 5513  df-f1 5514  df-fo 5515  df-f1o 5516  df-fv 5517  df-isom 5518  df-riota 6176  df-ov 6217  df-oprab 6218  df-mpt2 6219  df-of 6457  df-om 6618  df-1st 6717  df-2nd 6718  df-supp 6836  df-recs 6978  df-rdg 7012  df-1o 7066  df-2o 7067  df-oadd 7070  df-er 7247  df-map 7358  df-pm 7359  df-ixp 7407  df-en 7454  df-dom 7455  df-sdom 7456  df-fin 7457  df-fsupp 7763  df-fi 7804  df-sup 7834  df-oi 7868  df-card 8251  df-cda 8479  df-pnf 9559  df-mnf 9560  df-xr 9561  df-ltxr 9562  df-le 9563  df-sub 9738  df-neg 9739  df-div 10142  df-nn 10471  df-2 10529  df-3 10530  df-4 10531  df-5 10532  df-6 10533  df-7 10534  df-8 10535  df-9 10536  df-10 10537  df-n0 10731  df-z 10800  df-dec 10914  df-uz 11020  df-q 11120  df-rp 11158  df-xneg 11257  df-xadd 11258  df-xmul 11259  df-ioo 11472  df-ioc 11473  df-ico 11474  df-icc 11475  df-fz 11612  df-fzo 11736  df-fl 11847  df-mod 11916  df-seq 12030  df-exp 12089  df-fac 12275  df-bc 12302  df-hash 12327  df-shft 12921  df-cj 12953  df-re 12954  df-im 12955  df-sqrt 13089  df-abs 13090  df-limsup 13315  df-clim 13332  df-rlim 13333  df-sum 13530  df-ef 13824  df-sin 13826  df-cos 13827  df-pi 13829  df-dvds 14008  df-struct 14655  df-ndx 14656  df-slot 14657  df-base 14658  df-sets 14659  df-ress 14660  df-plusg 14734  df-mulr 14735  df-starv 14736  df-sca 14737  df-vsca 14738  df-ip 14739  df-tset 14740  df-ple 14741  df-ds 14743  df-unif 14744  df-hom 14745  df-cco 14746  df-rest 14849  df-topn 14850  df-0g 14868  df-gsum 14869  df-topgen 14870  df-pt 14871  df-prds 14874  df-xrs 14928  df-qtop 14933  df-imas 14934  df-xps 14936  df-mre 15012  df-mrc 15013  df-acs 15015  df-mgm 16008  df-sgrp 16047  df-mnd 16057  df-submnd 16103  df-mulg 16196  df-cntz 16491  df-cmn 16936  df-psmet 18543  df-xmet 18544  df-met 18545  df-bl 18546  df-mopn 18547  df-fbas 18548  df-fg 18549  df-cnfld 18553  df-top 19503  df-bases 19505  df-topon 19506  df-topsp 19507  df-cld 19624  df-ntr 19625  df-cls 19626  df-nei 19704  df-lp 19742  df-perf 19743  df-cn 19833  df-cnp 19834  df-haus 19921  df-tx 20167  df-hmeo 20360  df-fil 20451  df-fm 20543  df-flim 20544  df-flf 20545  df-xms 20927  df-ms 20928  df-tms 20929  df-cncf 21486  df-limc 22374  df-dv 22375  df-log 23048  df-cxp 23049  df-sgm 23511
This theorem is referenced by:  sgmcl  23556
  Copyright terms: Public domain W3C validator