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Theorem sge0xaddlem2 38390
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xaddlem2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0xaddlem2.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.sb  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
sge0xaddlem2.sc  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0xaddlem2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem sge0xaddlem2
Dummy variables  e 
j  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1769 . . 3  |-  F/ k
ph
2 sge0xaddlem2.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 0xr 9705 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
43a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  e.  RR* )
5 pnfxr 11435 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  -> +oo  e.  RR* )
7 rge0ssre 11766 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
8 sge0xaddlem2.b . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
97, 8sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
10 sge0xaddlem2.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
117, 10sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
129, 11readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
1312rexrd 9708 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR* )
14 icossicc 11746 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
1514, 8sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 xrge0ge0 37657 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  B )
1715, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
1814, 10sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
19 xrge0ge0 37657 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  C )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  C )
219, 11, 17, 20addge0d 10210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( B  +  C
) )
2212ltpnfd 11446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  < +oo )
234, 6, 13, 21, 22elicod 11710 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
241, 2, 23sge0revalmpt 38334 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) )
25 rexadd 11548 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B +e
C )  =  ( B  +  C ) )
269, 11, 25syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B +e C )  =  ( B  +  C ) )
2726mpteq2dva 4482 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )
2827fveq2d 5883 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) ) )
29 sge0xaddlem2.sb . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
30 sge0xaddlem2.sc . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
31 rexadd 11548 . . . 4  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
331, 2, 8sge0revalmpt 38334 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  ) )
341, 2, 10sge0revalmpt 38334 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =  sup ( ran  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )
3533, 34oveq12d 6326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) )
3633eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) ) )
3736, 29eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3834, 30eqeltrrd 2550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3937, 38readdcld 9688 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  e.  RR )
4039rexrd 9708 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  e. 
RR* )
41 elinel2 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
4241adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
43 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ph )
44 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  x
)  ->  x  C_  A
)
46 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  x )
4745, 46sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  x
)  ->  k  e.  A )
4847adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  A )
4943, 48, 9syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  B  e.  RR )
5043, 48, 11syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  C  e.  RR )
5149, 50readdcld 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
5242, 51fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C )  e.  RR )
5352rexrd 9708 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C )  e.  RR* )
5453ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  x  ( B  +  C
)  e.  RR* )
55 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) )
5655rnmptss 6068 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  x  ( B  +  C )  e.  RR*  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C ) )  C_  RR* )
5754, 56syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) )  C_  RR* )
58 supxrcl 11625 . . . . 5  |-  ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR* )
5957, 58syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6035eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
6160adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
62 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ph  /\  e  e.  RR+ )
632adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  A  e.  V )
6415adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
65 rphalfcl 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( e  e.  RR+  ->  ( e  /  2 )  e.  RR+ )
6665adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( e  /  2 )  e.  RR+ )
6729adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
6862, 63, 64, 66, 67sge0ltfirpmpt2 38382 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )
6918adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7030adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
7162, 63, 69, 66, 70sge0ltfirpmpt2 38382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )
72713ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )
73633ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  A  e.  V )
74733ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  A  e.  V )
75 simpl1l 1081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  j  e.  A )  ->  ph )
76753ad2antl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  j  e.  A )  ->  ph )
77 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
78 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( ph  /\  j  e.  A )
79 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
8079nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  (
0 [,) +oo )
8178, 80nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  (
0 [,) +oo )
)
82 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
8382anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  j  e.  A ) ) )
84 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
8584eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
8683, 85imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  (
0 [,) +oo )
) ) )
8781, 86, 8chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8876, 77, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
89 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ C
9089nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,) +oo )
9178, 90nfim 2023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ k ( ( ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,) +oo )
)
92 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  C  =  [_ j  /  k ]_ C )
9392eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
9483, 93imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,) +oo )
) ) )
9591, 94, 10chvar 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9676, 77, 95syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
97 simp11r 1142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  e  e.  RR+ )
98 simp12 1061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
99 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  u  C_  A )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  u  C_  A
)
101 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  u  e.  Fin )
1021013ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
1031023ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
104 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
105 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  v  C_  A )
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  v  C_  A )
107 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
1081073ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  v  e.  Fin )
109 simp13 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )
110 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j B
111110, 79, 84cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B )
112111fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )
113 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j
u
114 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
u
11584, 113, 114, 110, 79cbvsum 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  u  B  =  sum_ j  e.  u  [_ j  /  k ]_ B
116115oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  / 
2 ) )  =  ( sum_ j  e.  u  [_ j  /  k ]_ B  +  ( e  /  2 ) )
117112, 116breq12i 4404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  / 
2 ) )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )  < 
( sum_ j  e.  u  [_ j  /  k ]_ B  +  ( e  /  2 ) ) )
118117biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  / 
2 ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )  < 
( sum_ j  e.  u  [_ j  /  k ]_ B  +  ( e  /  2 ) ) )
119109, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )  < 
( sum_ j  e.  u  [_ j  /  k ]_ B  +  ( e  /  2 ) ) )
120 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )
121 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j C
122121, 89, 92cbvmpt 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C )
123122fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )
124 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j
v
125 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k
v
12692, 124, 125, 121, 89cbvsum 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  v  C  =  sum_ j  e.  v  [_ j  /  k ]_ C
127126oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  / 
2 ) )  =  ( sum_ j  e.  v 
[_ j  /  k ]_ C  +  (
e  /  2 ) )
128123, 127breq12i 4404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  <  ( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  / 
2 ) )  <->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  < 
( sum_ j  e.  v 
[_ j  /  k ]_ C  +  (
e  /  2 ) ) )
129128biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  <  ( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  / 
2 ) )  -> 
(Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  < 
( sum_ j  e.  v 
[_ j  /  k ]_ C  +  (
e  /  2 ) ) )
130120, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  < 
( sum_ j  e.  v 
[_ j  /  k ]_ C  +  (
e  /  2 ) ) )
131 simp11l 1141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  ph )
13284, 92oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  j  ->  ( B  +  C )  =  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C ) )
133 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ j
x
134 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
x
135 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ j
( B  +  C
)
136 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k  +
13779, 136, 89nfov 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
)
138132, 133, 134, 135, 137cbvsum 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  sum_ k  e.  x  ( B  +  C )  =  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
)
139138mpteq2i 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) )
140139rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) )  =  ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) )
141140supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  )
142141eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  )
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) )
144143, 24eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) ) )
145 ge0xaddcl 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( B +e C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14615, 18, 145syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B +e C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14726, 146eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1481, 2, 147sge0clmpt 38381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149144, 148eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
150131, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
151112, 29syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
152131, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )  e.  RR )
153123, 30syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  e.  RR )
154131, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )  e.  RR )
15574, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154sge0xaddlem1 38389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  ( (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C
) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) )
156112, 123oveq12i 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )  +  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) )
157141oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C ) ) , 
RR* ,  <  ) +e e )  =  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e )
158156, 157breq12i 4404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e )  <->  ( (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B
) )  +  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C
) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ j  e.  x  ( [_ j  /  k ]_ B  +  [_ j  /  k ]_ C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) )
159155, 158sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  /\  v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  < 
( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) )
1601593exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  ( v  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  <  ( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  / 
2 ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) ) ) )
161160rexlimdv 2870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  ( E. v  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  <  ( sum_ k  e.  v  C  +  ( e  / 
2 ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) ) )
16272, 161mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  e  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  < 
( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  /  2 ) ) )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) )
1631623exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( u  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  / 
2 ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) ) ) )
164163rexlimdv 2870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( E. u  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <  ( sum_ k  e.  u  B  +  ( e  / 
2 ) )  -> 
( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) ) )
16568, 164mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  +  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) )
16661, 165eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  e  e.  RR+ )  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  <_ 
( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) +e
e ) )
16740, 59, 166xrlexaddrp 37662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  <_  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C ) ) , 
RR* ,  <  ) )
16824eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B  +  C ) ) ) )
16943, 48, 23syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  ( B  +  C )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
17042, 169sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  x  |->  ( B  +  C ) ) )  =  sum_ k  e.  x  ( B  +  C )
)
17149recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  B  e.  CC )
17250recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  x )  ->  C  e.  CC )
17342, 171, 172fsumadd 13882 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C )  =  (
sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  x  C ) )
174170, 173eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  x  |->  ( B  +  C ) ) )  =  (
sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  x  C ) )
17542, 49fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  RR )
17642, 50fsumrecl 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  C  e.  RR )
17737adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
17838adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
179 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  e.  Fin )
180179adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  Fin )
181 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  ph )
182 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
183182adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  y  C_  A )
184 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  k  e.  y )
185183, 184sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  y
)  ->  k  e.  A )
186185adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  k  e.  A )
187181, 186, 9syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  y )  ->  B  e.  RR )
188180, 187fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  RR )
189188rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  y  B  e.  RR* )
190189ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  y  B  e.  RR* )
191 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  =  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )
192191rnmptss 6068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  y  B  e.  RR*  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  C_ 
RR* )
193190, 192syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  C_  RR* )
194193adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  C_  RR* )
195 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
196 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  x  B )
197 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  sum_ k  e.  y  B  =  sum_ k  e.  x  B )
198197eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  y  B  <->  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  x  B ) )
199198rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  x  B )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  y  B )
200195, 196, 199syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  x  B  =  sum_ k  e.  y  B )
201175elexd 3042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  _V )
202191, 200, 201elrnmptd 37524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) )
203 supxrub 11635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B )  C_  RR*  /\  sum_ k  e.  x  B  e.  ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) )  ->  sum_ k  e.  x  B  <_  sup ( ran  (
y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  ) )
204194, 202, 203syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  B  <_  sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )
)
205 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z
ph
206 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C )  =  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C )
207 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
208207adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  z  e.  Fin )
209 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  ph )
210 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  z  C_  A )
211210adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  z
)  ->  z  C_  A )
212 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  z
)  ->  k  e.  z )
213211, 212sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  k  e.  z
)  ->  k  e.  A )
214213adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  k  e.  A )
215209, 214, 11syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  k  e.  z )  ->  C  e.  RR )
216208, 215fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  C  e.  RR )
217216rexrd 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  z  C  e.  RR* )
218205, 206, 217rnmptssd 37544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C )  C_  RR* )
219218adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C )  C_  RR* )
220 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  C  =  sum_ k  e.  x  C )
221 sumeq1 13832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  sum_ k  e.  z  C  =  sum_ k  e.  x  C )
222221eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( sum_ k  e.  x  C  =  sum_ k  e.  z  C  <->  sum_ k  e.  x  C  =  sum_ k  e.  x  C ) )
223222rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  sum_ k  e.  x  C  =  sum_ k  e.  x  C )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  x  C  =  sum_ k  e.  z  C )
224195, 220, 223syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  E. z  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) sum_ k  e.  x  C  =  sum_ k  e.  z  C )
225176elexd 3042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  C  e.  _V )
226206, 224, 225elrnmptd 37524 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  C  e.  ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) )
227 supxrub 11635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C )  C_  RR*  /\  sum_ k  e.  x  C  e.  ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) )  ->  sum_ k  e.  x  C  <_  sup ( ran  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )
228219, 226, 227syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  sum_ k  e.  x  C  <_  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  )
)
229175, 176, 177, 178, 204, 228le2addd 10253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  x  C )  <_  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) )
230174, 229eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  x  |->  ( B  +  C ) ) )  <_  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) )
231230ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  x  |->  ( B  +  C
) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) )
2321, 2, 147, 40sge0lefimpt 38379 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  <->  A. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( k  e.  x  |->  ( B  +  C
) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
233231, 232mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B  +  C
) ) )  <_ 
( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) )
234168, 233eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  (
z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) ) )
23540, 59, 167, 234xrletrid 11475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  y  B ) ,  RR* ,  <  )  +  sup ( ran  ( z  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  z  C ) ,  RR* ,  <  ) )  =  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) )
23632, 35, 2353eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ k  e.  x  ( B  +  C
) ) ,  RR* ,  <  ) )
23724, 28, 2363eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0xadd  38391
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