Theorem sge0xaddlem2 38390

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem2.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0xaddlem2.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.sb	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
sge0xaddlem2.sc	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem2	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   V( k)

Proof of Theorem sge0xaddlem2

Dummy variables e j u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1769	. . 3 |- F/ k ph
2		sge0xaddlem2.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
3		0xr 9705	. . . . 5 |- 0 e. RR*
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 e. RR* )
5		pnfxr 11435	. . . . 5 |- +oo e. RR*
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> +oo e. RR* )
7		rge0ssre 11766	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
8		sge0xaddlem2.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
9	7, 8	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
10		sge0xaddlem2.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
11	7, 10	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
12	9, 11	readdcld 9688	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
13	12	rexrd 9708	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR* )
14		icossicc 11746	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
15	14, 8	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0ge0 37657	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
18	14, 10	sseldi 3416	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
19		xrge0ge0 37657	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ C )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ C )
21	9, 11, 17, 20	addge0d 10210	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ ( B + C ) )
22	12	ltpnfd 11446	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) < +oo )
23	4, 6, 13, 21, 22	elicod 11710	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24	1, 2, 23	sge0revalmpt 38334	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
25		rexadd 11548	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
26	9, 11, 25	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
27	26	mpteq2dva 4482	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B +e C ) ) = ( k e. A |-> ( B + C ) ) )
28	27	fveq2d 5883	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
29		sge0xaddlem2.sb	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
30		sge0xaddlem2.sc	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
31		rexadd 11548	. . . 4 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
33	1, 2, 8	sge0revalmpt 38334	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
34	1, 2, 10	sge0revalmpt 38334	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
35	33, 34	oveq12d 6326	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
36	33	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
37	36, 29	eqeltrd 2549	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
38	34, 30	eqeltrrd 2550	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
39	37, 38	readdcld 9688	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR )
40	39	rexrd 9708	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR* )
41		elinel2 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
42	41	adantl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
43		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ph )
44		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
45	44	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> x C_ A )
46		simpr 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. x )
47	45, 46	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48	47	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> k e. A )
49	43, 48, 9	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. RR )
50	43, 48, 11	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. RR )
51	49, 50	readdcld 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. RR )
52	42, 51	fsumrecl 13877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR )
53	52	rexrd 9708	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
54	53	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
55		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) )
56	55	rnmptss 6068	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
57	54, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
58		supxrcl 11625	. . . . 5 |- ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
59	57, 58	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
60	35	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
61	60	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
62		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ e e. RR+ )
63	2	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A e. V )
64	15	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
65		rphalfcl 11350	. . . . . . . . 9 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
66	65	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
67	29	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
68	62, 63, 64, 66, 67	sge0ltfirpmpt2 38382	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. u e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) )
69	18	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
70	30	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
71	62, 63, 69, 66, 70	sge0ltfirpmpt2 38382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
72	71	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
73	63	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> A e. V )
74	73	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> A e. V )
75		simpl1l 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> ph )
76	75	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> ph )
77		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
78		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ph /\ j e. A )
79		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
80	79	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo )
81	78, 80	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
82		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
83	82	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ j e. A ) ) )
84		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
85	84	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
86	83, 85	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
87	81, 86, 8	chvar 2119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
88	76, 77, 87	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
89		nfcsb1v 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
90	89	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo )
91	78, 90	nfim 2023	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
92		csbeq1a 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
93	92	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) )
94	83, 93	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
95	91, 94, 10	chvar 2119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
96	76, 77, 95	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
97		simp11r 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> e e. RR+ )
98		simp12 1061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u e. ( ~P A i^i Fin ) )
99		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u C_ A )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u C_ A )
101		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. Fin )
102	101	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> u e. Fin )
103	102	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u e. Fin )
104		simp2 1031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v e. ( ~P A i^i Fin ) )
105		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v C_ A )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v C_ A )
107		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v e. Fin )
108	107	3ad2ant2 1052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v e. Fin )
109		simp13 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) )
110		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j B
111	110, 79, 84	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> B ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B )
112	111	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) )
113		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j u
114		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k u
115	84, 113, 114, 110, 79	cbvsum 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. u B = sum_ j e. u [_ j / k ]_ B
116	115	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) = ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) )
117	112, 116	breq12i 4404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
118	117	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
119	109, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
120		simp3 1032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
121		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j C
122	121, 89, 92	cbvmpt 4487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> C ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C )
123	122	fveq2i 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) )
124		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j v
125		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k v
126	92, 124, 125, 121, 89	cbvsum 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. v C = sum_ j e. v [_ j / k ]_ C
127	126	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) = ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) )
128	123, 127	breq12i 4404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
129	128	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
130	120, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
131		simp11l 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ph )
132	84, 92	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = j -> ( B + C ) = ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
133		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ j x
134		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k x
135		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ j ( B + C )
136		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k +
137	79, 136, 89	nfov 6334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C )
138	132, 133, 134, 135, 137	cbvsum 13838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- sum_ k e. x ( B + C ) = sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C )
139	138	mpteq2i 4479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
140	139	rneqi 5067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
141	140	supeq1i 7979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < )
142	141	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
144	143, 24	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
145		ge0xaddcl 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ( 0 [,] +oo ) /\ C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
146	15, 18, 145	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147	26, 146	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148	1, 2, 147	sge0clmpt 38381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
149	144, 148	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
150	131, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
151	112, 29	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
152	131, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
153	123, 30	syl5eqelr 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
154	131, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
155	74, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154	sge0xaddlem1 38389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
156	112, 123	oveq12i 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
157	141	oveq1i 6318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e )
158	156, 157	breq12i 4404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) <-> ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
159	155, 158	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
160	159	3exp 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) ) )
161	160	rexlimdv 2870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) )
162	72, 161	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
163	162	3exp 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) ) )
164	163	rexlimdv 2870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. u e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) )
165	68, 164	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
166	61, 165	eqbrtrd 4416	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
167	40, 59, 166	xrlexaddrp 37662	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
168	24	eqcomd 2477	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
169	43, 48, 23	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
170	42, 169	sge0fsummpt 38346	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) = sum_ k e. x ( B + C ) )
171	49	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
172	50	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. CC )
173	42, 171, 172	fsumadd 13882	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) )
174	170, 173	eqtrd 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) )
175	42, 49	fsumrecl 13877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. RR )
176	42, 50	fsumrecl 13877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. RR )
177	37	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
178	38	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
179		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
180	179	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
181		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ph )
182		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
183	182	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
184		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. y )
185	183, 184	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. A )
186	185	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
187	181, 186, 9	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
188	180, 187	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR )
189	188	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR* )
190	189	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. y B e. RR* )
191		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) = ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B )
192	191	rnmptss 6068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. y B e. RR* -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
193	190, 192	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
194	193	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
195		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
196		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. x B )
197		sumeq1 13832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> sum_ k e. y B = sum_ k e. x B )
198	197	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( sum_ k e. x B = sum_ k e. y B <-> sum_ k e. x B = sum_ k e. x B ) )
199	198	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. x B = sum_ k e. x B ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
200	195, 196, 199	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
201	175	elexd 3042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. _V )
202	191, 200, 201	elrnmptd 37524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) )
203		supxrub 11635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* /\ sum_ k e. x B e. ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) ) -> sum_ k e. x B <_ sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
204	194, 202, 203	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B <_ sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
205		nfv 1769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ph
206		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) = ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C )
207		elinel2 3611	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z e. Fin )
208	207	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
209		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ph )
210		elpwinss 37446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z C_ A )
211	210	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> z C_ A )
212		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> k e. z )
213	211, 212	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> k e. A )
214	213	adantll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. A )
215	209, 214, 11	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> C e. RR )
216	208, 215	fsumrecl 13877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z C e. RR )
217	216	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z C e. RR* )
218	205, 206, 217	rnmptssd 37544	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* )
219	218	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* )
220		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C = sum_ k e. x C )
221		sumeq1 13832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> sum_ k e. z C = sum_ k e. x C )
222	221	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( sum_ k e. x C = sum_ k e. z C <-> sum_ k e. x C = sum_ k e. x C ) )
223	222	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. x C = sum_ k e. x C ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x C = sum_ k e. z C )
224	195, 220, 223	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x C = sum_ k e. z C )
225	176	elexd 3042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. _V )
226	206, 224, 225	elrnmptd 37524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) )
227		supxrub 11635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* /\ sum_ k e. x C e. ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) ) -> sum_ k e. x C <_ sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
228	219, 226, 227	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C <_ sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
229	175, 176, 177, 178, 204, 228	le2addd 10253	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
230	174, 229	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
231	230	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
232	1, 2, 147, 40	sge0lefimpt 38379	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <-> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) ) )
233	231, 232	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
234	168, 233	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
235	40, 59, 167, 234	xrletrid 11475	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
236	32, 35, 235	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
237	24, 28, 236	3eqtr4d 2515	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [_csb 3349   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^{^}csumge0 38318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319

This theorem is referenced by:  sge0xadd  38391