Theorem sge0xaddlem2 38270

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem2.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0xaddlem2.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.sb	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
sge0xaddlem2.sc	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem2	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   V( k)

Proof of Theorem sge0xaddlem2

Dummy variables e j u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1760	. . 3 |- F/ k ph
2		sge0xaddlem2.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
3		0xr 9684	. . . . 5 |- 0 e. RR*
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 e. RR* )
5		pnfxr 11409	. . . . 5 |- +oo e. RR*
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> +oo e. RR* )
7		rge0ssre 11737	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
8		sge0xaddlem2.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
9	7, 8	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
10		sge0xaddlem2.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
11	7, 10	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
12	9, 11	readdcld 9667	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
13	12	rexrd 9687	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR* )
14		icossicc 11718	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
15	14, 8	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0ge0 37564	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
18	14, 10	sseldi 3429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
19		xrge0ge0 37564	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ C )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ C )
21	9, 11, 17, 20	addge0d 10186	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ ( B + C ) )
22	12	ltpnfd 11420	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) < +oo )
23	4, 6, 13, 21, 22	elicod 11682	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24	1, 2, 23	sge0revalmpt 38214	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
25		rexadd 11522	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
26	9, 11, 25	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
27	26	mpteq2dva 4488	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B +e C ) ) = ( k e. A |-> ( B + C ) ) )
28	27	fveq2d 5867	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
29		sge0xaddlem2.sb	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
30		sge0xaddlem2.sc	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
31		rexadd 11522	. . . 4 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 666	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
33	1, 2, 8	sge0revalmpt 38214	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
34	1, 2, 10	sge0revalmpt 38214	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
35	33, 34	oveq12d 6306	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
36	33	eqcomd 2456	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
37	36, 29	eqeltrd 2528	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
38	34, 30	eqeltrrd 2529	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
39	37, 38	readdcld 9667	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR )
40	39	rexrd 9687	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR* )
41		elinel2 3619	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
42	41	adantl 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
43		simpll 759	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ph )
44		elpwinss 37381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
45	44	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> x C_ A )
46		simpr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. x )
47	45, 46	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48	47	adantll 719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> k e. A )
49	43, 48, 9	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. RR )
50	43, 48, 11	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. RR )
51	49, 50	readdcld 9667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. RR )
52	42, 51	fsumrecl 13793	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR )
53	52	rexrd 9687	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
54	53	ralrimiva 2801	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
55		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) )
56	55	rnmptss 6050	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
57	54, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
58		supxrcl 11597	. . . . 5 |- ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
59	57, 58	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
60	35	eqcomd 2456	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
61	60	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
62		nfv 1760	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ e e. RR+ )
63	2	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A e. V )
64	15	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
65		rphalfcl 11324	. . . . . . . . 9 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
66	65	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
67	29	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
68	62, 63, 64, 66, 67	sge0ltfirpmpt2 38262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. u e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) )
69	18	adantlr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
70	30	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
71	62, 63, 69, 66, 70	sge0ltfirpmpt2 38262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
72	71	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
73	63	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> A e. V )
74	73	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> A e. V )
75		simpl1l 1058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> ph )
76	75	3ad2antl1 1169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> ph )
77		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
78		nfv 1760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ph /\ j e. A )
79		nfcsb1v 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
80	79	nfel1 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo )
81	78, 80	nfim 2002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
82		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
83	82	anbi2d 709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ j e. A ) ) )
84		csbeq1a 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
85	84	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
86	83, 85	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
87	81, 86, 8	chvar 2105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
88	76, 77, 87	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
89		nfcsb1v 3378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
90	89	nfel1 2605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo )
91	78, 90	nfim 2002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
92		csbeq1a 3371	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
93	92	eleq1d 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) )
94	83, 93	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
95	91, 94, 10	chvar 2105	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
96	76, 77, 95	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
97		simp11r 1119	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> e e. RR+ )
98		simp12 1038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u e. ( ~P A i^i Fin ) )
99		elpwinss 37381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u C_ A )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u C_ A )
101		elinel2 3619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. Fin )
102	101	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> u e. Fin )
103	102	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u e. Fin )
104		simp2 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v e. ( ~P A i^i Fin ) )
105		elpwinss 37381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v C_ A )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v C_ A )
107		elinel2 3619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v e. Fin )
108	107	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v e. Fin )
109		simp13 1039	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) )
110		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j B
111	110, 79, 84	cbvmpt 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> B ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B )
112	111	fveq2i 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) )
113		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j u
114		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k u
115	84, 113, 114, 110, 79	cbvsum 13754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. u B = sum_ j e. u [_ j / k ]_ B
116	115	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) = ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) )
117	112, 116	breq12i 4410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
118	117	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
119	109, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
120		simp3 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
121		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j C
122	121, 89, 92	cbvmpt 4493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> C ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C )
123	122	fveq2i 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) )
124		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j v
125		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k v
126	92, 124, 125, 121, 89	cbvsum 13754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. v C = sum_ j e. v [_ j / k ]_ C
127	126	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) = ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) )
128	123, 127	breq12i 4410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
129	128	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
130	120, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
131		simp11l 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ph )
132	84, 92	oveq12d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = j -> ( B + C ) = ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
133		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ j x
134		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k x
135		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ j ( B + C )
136		nfcv 2591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k +
137	79, 136, 89	nfov 6314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C )
138	132, 133, 134, 135, 137	cbvsum 13754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- sum_ k e. x ( B + C ) = sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C )
139	138	mpteq2i 4485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
140	139	rneqi 5060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
141	140	supeq1i 7958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < )
142	141	eqcomi 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
144	143, 24	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
145		ge0xaddcl 11743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ( 0 [,] +oo ) /\ C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
146	15, 18, 145	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147	26, 146	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148	1, 2, 147	sge0clmpt 38261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
149	144, 148	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
150	131, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
151	112, 29	syl5eqelr 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
152	131, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
153	123, 30	syl5eqelr 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
154	131, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
155	74, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154	sge0xaddlem1 38269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
156	112, 123	oveq12i 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
157	141	oveq1i 6298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e )
158	156, 157	breq12i 4410	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) <-> ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
159	155, 158	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
160	159	3exp 1206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) ) )
161	160	rexlimdv 2876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) )
162	72, 161	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
163	162	3exp 1206	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) ) )
164	163	rexlimdv 2876	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. u e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) )
165	68, 164	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
166	61, 165	eqbrtrd 4422	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
167	40, 59, 166	xrlexaddrp 37569	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
168	24	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
169	43, 48, 23	syl2anc 666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
170	42, 169	sge0fsummpt 38226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) = sum_ k e. x ( B + C ) )
171	49	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
172	50	recnd 9666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. CC )
173	42, 171, 172	fsumadd 13798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) )
174	170, 173	eqtrd 2484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) )
175	42, 49	fsumrecl 13793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. RR )
176	42, 50	fsumrecl 13793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. RR )
177	37	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
178	38	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
179		elinel2 3619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
180	179	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
181		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ph )
182		elpwinss 37381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
183	182	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
184		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. y )
185	183, 184	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. A )
186	185	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
187	181, 186, 9	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
188	180, 187	fsumrecl 13793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR )
189	188	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR* )
190	189	ralrimiva 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. y B e. RR* )
191		eqid 2450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) = ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B )
192	191	rnmptss 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. y B e. RR* -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
193	190, 192	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
194	193	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
195		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
196		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. x B )
197		sumeq1 13748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> sum_ k e. y B = sum_ k e. x B )
198	197	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( sum_ k e. x B = sum_ k e. y B <-> sum_ k e. x B = sum_ k e. x B ) )
199	198	rspcev 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. x B = sum_ k e. x B ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
200	195, 196, 199	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
201	175	elexd 3055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. _V )
202	191, 200, 201	elrnmptd 37447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) )
203		supxrub 11607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* /\ sum_ k e. x B e. ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) ) -> sum_ k e. x B <_ sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
204	194, 202, 203	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B <_ sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
205		nfv 1760	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ph
206		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) = ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C )
207		elinel2 3619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z e. Fin )
208	207	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
209		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ph )
210		elpwinss 37381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z C_ A )
211	210	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> z C_ A )
212		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> k e. z )
213	211, 212	sseldd 3432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> k e. A )
214	213	adantll 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. A )
215	209, 214, 11	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> C e. RR )
216	208, 215	fsumrecl 13793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z C e. RR )
217	216	rexrd 9687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z C e. RR* )
218	205, 206, 217	rnmptssd 37467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* )
219	218	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* )
220		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C = sum_ k e. x C )
221		sumeq1 13748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> sum_ k e. z C = sum_ k e. x C )
222	221	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( sum_ k e. x C = sum_ k e. z C <-> sum_ k e. x C = sum_ k e. x C ) )
223	222	rspcev 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. x C = sum_ k e. x C ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x C = sum_ k e. z C )
224	195, 220, 223	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x C = sum_ k e. z C )
225	176	elexd 3055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. _V )
226	206, 224, 225	elrnmptd 37447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) )
227		supxrub 11607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* /\ sum_ k e. x C e. ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) ) -> sum_ k e. x C <_ sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
228	219, 226, 227	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C <_ sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
229	175, 176, 177, 178, 204, 228	le2addd 10229	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
230	174, 229	eqbrtrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
231	230	ralrimiva 2801	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
232	1, 2, 147, 40	sge0lefimpt 38259	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <-> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) ) )
233	231, 232	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
234	168, 233	eqbrtrd 4422	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
235	40, 59, 167, 234	xrletrid 11449	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
236	32, 35, 235	3eqtrd 2488	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
237	24, 28, 236	3eqtr4d 2494	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   [_csb 3362   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   / cdiv 10266   2c2 10656   RR+crp 11299   +ecxad 11404   [,)cico 11634   [,]cicc 11635   sum_csu 13745  Σ^{^}csumge0 38198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-sumge0 38199

This theorem is referenced by:  sge0xadd  38271