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Theorem sge0xadd 38277
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xadd.kph  |-  F/ k
ph
sge0xadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0xadd.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0xadd.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0xadd  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem sge0xadd
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
21oveq1d 6305 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
3 sge0xadd.kph . . . . . 6  |-  F/ k
ph
4 sge0xadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 sge0xadd.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63, 4, 5sge0xrclmpt 38270 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e. 
RR* )
7 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
83, 5, 7fmptdf 6048 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
94, 8sge0nemnf 38262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =/= -oo )
10 xaddpnf2 11520 . . . . 5  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e. 
RR*  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =/= -oo )  ->  ( +oo +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  = +oo )
116, 9, 10syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +oo +e
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  = +oo )
1211adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  ( +oo +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  = +oo )
13 sge0xadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 ge0xaddcl 11746 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( B +e C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1513, 5, 14syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B +e C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
163, 4, 15sge0xrclmpt 38270 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  e.  RR* )
1716adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  e. 
RR* )
18 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
1918eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
2019adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
214elexd 3056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
22 iccssxr 11717 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2322, 13sseldi 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
2423, 5xadd0ge 37542 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  ( B +e
C ) )
253, 21, 13, 15, 24sge0lempt 38252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
2625adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
2720, 26eqbrtrd 4423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  -> +oo  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
2817, 27xrgepnfd 37554 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  = +oo )
2928eqcomd 2457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
302, 12, 293eqtrrd 2490 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
31 simpl 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  ph )
32 simpr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
33 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
343, 13, 33fmptdf 6048 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
354, 34sge0repnf 38228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
3635adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
3732, 36mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
38 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )
3938oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo ) )
404, 34sge0xrcl 38227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
RR* )
414, 34sge0nemnf 38262 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =/= -oo )
42 xaddpnf1 11519 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
RR*  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =/= -oo )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo )  = +oo )
4340, 41, 42syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo )  = +oo )
4443adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo )  = +oo )
4516adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  e. 
RR* )
46 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )
4746eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
4847adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
4922, 5sseldi 3430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
5049, 13xadd0ge2 37564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  <_  ( B +e
C ) )
513, 4, 5, 15, 50sge0lempt 38252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
5251adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
5348, 52eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
5445, 53xrgepnfd 37554 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  = +oo )
5554eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
5639, 44, 553eqtrrd 2490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
5756adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
58 simpl 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR ) )
59 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )
604, 8sge0repnf 38228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo ) )
6160adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo ) )
6259, 61mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
6362adantlr 721 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
644ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
65 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ kΣ^
66 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  B )
6765, 66nffv 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )
68 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k RR
6967, 68nfel 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR
703, 69nfan 2011 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
71 nfv 1761 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  j  e.  A
7270, 71nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )
73 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
7473nfel1 2606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  (
0 [,) +oo )
7572, 74nfim 2003 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
76 eleq1 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
7776anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  <->  ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A ) ) )
78 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
7978eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
8077, 79imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( (
( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
814adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
8213adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
83 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
8470, 81, 82, 83sge0rernmpt 38264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8575, 80, 84chvar 2106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
)
8685adantlr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
)
87 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  C )
8865, 87nffv 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )
8988, 68nfel 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR
903, 89nfan 2011 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
9190, 71nfan 2011 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )
92 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ C
9392nfel1 2606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,) +oo )
9491, 93nfim 2003 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9576anbi2d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  <->  ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A ) ) )
96 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  C  =  [_ j  /  k ]_ C )
9796eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
9895, 97imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( (
( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
994adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
1005adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
10290, 99, 100, 101sge0rernmpt 38264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10394, 98, 102chvar 2106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
104103adantllr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
105 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j B
106105, 73, 78cbvmpt 4494 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B )
107106fveq2i 5868 . . . . . . . 8  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )
108 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
109107, 108syl5eqelr 2534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B
) )  e.  RR )
110 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j C
111110, 92, 96cbvmpt 4494 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C )
112111fveq2i 5868 . . . . . . . 8  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )
113 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
114112, 113syl5eqelr 2534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  e.  RR )
11564, 86, 104, 109, 114sge0xaddlem2 38276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  (
[_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) ) +e (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )
116 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( B +e
C )
117 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k +e
11873, 117, 92nfov 6316 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( [_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
)
11978, 96oveq12d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  ( B +e C )  =  ( [_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
) )
120116, 118, 119cbvmpt 4494 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  ( B +e C ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( [_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
) )
121120fveq2i 5868 . . . . . . 7  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |->  ( [_ j  / 
k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C ) ) )
122107, 112oveq12i 6302 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) ) +e
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) ) +e (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) )
123121, 122eqeq12i 2465 . . . . . 6  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <-> 
(Σ^ `  ( j  e.  A  |->  ( [_ j  / 
k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) ) +e (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )
124115, 123sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12558, 63, 124syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12657, 125pm2.61dan 800 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12731, 37, 126syl2anc 667 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12830, 127pm2.61dan 800 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045   [_csb 3363   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   -oocmnf 9673   RR*cxr 9674    <_ cle 9676   +ecxad 11407   [,)cico 11637   [,]cicc 11638  Σ^csumge0 38204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-sumge0 38205
This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  38392  hspmbllem2  38449
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