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Theorem sge0xadd 38391
Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0xadd.kph  |-  F/ k
ph
sge0xadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0xadd.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0xadd.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0xadd  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem sge0xadd
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
21oveq1d 6323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
3 sge0xadd.kph . . . . . 6  |-  F/ k
ph
4 sge0xadd.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 sge0xadd.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63, 4, 5sge0xrclmpt 38384 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e. 
RR* )
7 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( k  e.  A  |->  C )
83, 5, 7fmptdf 6063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  C ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
94, 8sge0nemnf 38376 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =/= -oo )
10 xaddpnf2 11543 . . . . 5  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e. 
RR*  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =/= -oo )  ->  ( +oo +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  = +oo )
116, 9, 10syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +oo +e
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  = +oo )
1211adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  ( +oo +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  = +oo )
13 sge0xadd.b . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 ge0xaddcl 11772 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( B +e C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1513, 5, 14syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B +e C )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
163, 4, 15sge0xrclmpt 38384 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  e.  RR* )
1716adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  e. 
RR* )
18 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
1918eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
2019adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) )
214elexd 3042 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
22 iccssxr 11742 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
2322, 13sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
2423, 5xadd0ge 37630 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  ( B +e
C ) )
253, 21, 13, 15, 24sge0lempt 38366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
2625adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
2720, 26eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  -> +oo  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
2817, 27xrgepnfd 37641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  = +oo )
2928eqcomd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
302, 12, 293eqtrrd 2510 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
31 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  ph )
32 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
33 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
343, 13, 33fmptdf 6063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
354, 34sge0repnf 38342 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
3635adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
3732, 36mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
38 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )
3938oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo ) )
404, 34sge0xrcl 38341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
RR* )
414, 34sge0nemnf 38376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =/= -oo )
42 xaddpnf1 11542 . . . . . . . 8  |-  ( ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e. 
RR*  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =/= -oo )  ->  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo )  = +oo )
4340, 41, 42syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo )  = +oo )
4443adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e +oo )  = +oo )
4516adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  e. 
RR* )
46 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )
4746eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
4847adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )
4922, 5sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR* )
5049, 13xadd0ge2 37651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  <_  ( B +e
C ) )
513, 4, 5, 15, 50sge0lempt 38366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  <_ 
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
5251adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
5348, 52eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  <_  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) ) )
5445, 53xrgepnfd 37641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  = +oo )
5554eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) ) )
5639, 44, 553eqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
5756adantlr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
58 simpl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR ) )
59 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )
604, 8sge0repnf 38342 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo ) )
6160adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo ) )
6259, 61mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
6362adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
644ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
65 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ kΣ^
66 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  B )
6765, 66nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )
68 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k RR
6967, 68nfel 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR
703, 69nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
71 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  j  e.  A
7270, 71nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )
73 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
7473nfel1 2626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  (
0 [,) +oo )
7572, 74nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
76 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
7776anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  <->  ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A ) ) )
78 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
7978eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
8077, 79imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( (
( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
814adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
8213adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
83 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
8470, 81, 82, 83sge0rernmpt 38378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8575, 80, 84chvar 2119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
)
8685adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  ( 0 [,) +oo )
)
87 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k
( k  e.  A  |->  C )
8865, 87nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )
8988, 68nfel 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR
903, 89nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
9190, 71nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )
92 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ C
9392nfel1 2626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ C  e.  (
0 [,) +oo )
9491, 93nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
9576anbi2d 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  <->  ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A ) ) )
96 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  C  =  [_ j  /  k ]_ C )
9796eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
9895, 97imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )  <->  ( (
( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
) ) )
994adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  A  e.  V )
1005adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
101 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
10290, 99, 100, 101sge0rernmpt 38378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  k  e.  A
)  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10394, 98, 102chvar 2119 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
104103adantllr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  /\  j  e.  A
)  ->  [_ j  / 
k ]_ C  e.  ( 0 [,) +oo )
)
105 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j B
106105, 73, 78cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B )
107106fveq2i 5882 . . . . . . . 8  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) )
108 simplr 770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
109107, 108syl5eqelr 2554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ B
) )  e.  RR )
110 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ j C
111110, 92, 96cbvmpt 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  A  |->  C )  =  ( j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C )
112111fveq2i 5882 . . . . . . . 8  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) )
113 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )
114112, 113syl5eqelr 2554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  [_ j  /  k ]_ C
) )  e.  RR )
11564, 86, 104, 109, 114sge0xaddlem2 38390 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
j  e.  A  |->  (
[_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) ) +e (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )
116 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ j
( B +e
C )
117 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k +e
11873, 117, 92nfov 6334 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( [_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
)
11978, 96oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  ( B +e C )  =  ( [_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
) )
120116, 118, 119cbvmpt 4487 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  ( B +e C ) )  =  ( j  e.  A  |->  ( [_ j  /  k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C
) )
121120fveq2i 5882 . . . . . . 7  |-  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  (Σ^ `  ( j  e.  A  |->  ( [_ j  / 
k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C ) ) )
122107, 112oveq12i 6320 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) ) +e
(Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) ) +e (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) )
123121, 122eqeq12i 2485 . . . . . 6  |-  ( (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) )  <-> 
(Σ^ `  ( j  e.  A  |->  ( [_ j  / 
k ]_ B +e [_ j  /  k ]_ C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ B ) ) +e (Σ^ `  ( j  e.  A  |-> 
[_ j  /  k ]_ C ) ) ) )
124115, 123sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12558, 63, 124syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  /\  -.  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12657, 125pm2.61dan 808 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  ( B +e C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12731, 37, 126syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  (
k  e.  A  |->  B ) )  = +oo )  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
12830, 127pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  ( B +e
C ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  B ) ) +e (Σ^ `  ( k  e.  A  |->  C ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   [_csb 3349   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
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