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Theorem sge0tsms 38336
 Description: Σ^ applied to a nonnegative function (its meaningful domain) is the same as the infinite group sum (that's always convergent, in this case). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0tsms.g s
sge0tsms.x
sge0tsms.f
Assertion
Ref Expression
sge0tsms Σ^ tsums

Proof of Theorem sge0tsms
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . 4 g g
21a1i 11 . . 3 g g
3 xrltso 11463 . . . . . 6
43supex 7995 . . . . 5 g
54a1i 11 . . . 4 g
6 elsncg 3983 . . . 4 g g g g g
75, 6syl 17 . . 3 g g g g
82, 7mpbird 240 . 2 g g
9 sge0tsms.x . . . . . . 7
109adantr 472 . . . . . 6
11 sge0tsms.f . . . . . . 7
1211adantr 472 . . . . . 6
13 simpr 468 . . . . . 6
1410, 12, 13sge0pnfval 38329 . . . . 5 Σ^
15 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
1611, 15syl 17 . . . . . . . . 9
1716adantr 472 . . . . . . . 8
18 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8
1917, 18syl 17 . . . . . . 7
2013, 19mpbid 215 . . . . . 6
21 iccssxr 11742 . . . . . . . . . . . . . 14
22 sge0tsms.g . . . . . . . . . . . . . . 15 s
23 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
2411adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
29 fssres 5761 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3024, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16
33 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3430, 32, 33fdmfifsupp 7911 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp
3522, 23, 30, 34gsumge0cl 38327 . . . . . . . . . . . . . 14 g
3621, 35sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13 g
3736ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12 g
38373ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . 11 g
39 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 g g
4039rnmptss 6068 . . . . . . . . . . 11 g g
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 g
42 snelpwi 4645 . . . . . . . . . . . . . 14
43 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
4542, 44elind 3609 . . . . . . . . . . . . 13
46453ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . 12
4711adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
48 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5047, 49fssresd 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5352mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5551, 54eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
57563adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13 g g
58 xrge0cmn 19087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s CMnd
5922, 58eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMnd
60 cmnmnd 17523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CMnd
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
63 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . 14
6411ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15
65643adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14
66 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6721, 66mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 xrsbas 19061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7122, 70ressbas 15257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7269, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7368, 72eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573, 74gsumsn 17665 . . . . . . . . . . . . . 14 g
7662, 63, 65, 75syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 g
77 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . 13
7857, 76, 773eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12 g
79 reseq2 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14 g g
8180eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13 g g
8281rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12 g g
8346, 78, 82syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 g
84 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . 13
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8639elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . 12 g g
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . 11 g g
8883, 87mpbird 240 . . . . . . . . . 10 g
89 supxrpnf 11629 . . . . . . . . . 10 g g g
9041, 88, 89syl2anc 673 . . . . . . . . 9 g
91903exp 1230 . . . . . . . 8 g
9291adantr 472 . . . . . . 7 g
9392rexlimdv 2870 . . . . . 6 g
9420, 93mpd 15 . . . . 5 g
9514, 94eqtr4d 2508 . . . 4 Σ^ g
969adantr 472 . . . . . 6
9711adantr 472 . . . . . . 7
98 simpr 468 . . . . . . 7
9997, 98fge0iccico 38326 . . . . . 6
10096, 99sge0reval 38328 . . . . 5 Σ^
10124, 28feqresmpt 5933 . . . . . . . . . . 11
102101adantlr 729 . . . . . . . . . 10
103102oveq2d 6324 . . . . . . . . 9 g g
10422fveq2i 5882 . . . . . . . . . . 11 s
105 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 s s
106 xrsadd 19062 . . . . . . . . . . . . . 14
107105, 106ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . 13 s
10869, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 s
109108eqcomi 2480 . . . . . . . . . . 11 s
110104, 109eqtr2i 2494 . . . . . . . . . 10
11122oveq1i 6318 . . . . . . . . . . 11 s s s
112 icossicc 11746 . . . . . . . . . . . . 13
11369, 112pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . 12
114 ressabs 15266 . . . . . . . . . . . 12 s s s
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 s s s
116111, 115eqtr2i 2494 . . . . . . . . . 10 s s
11759elexi 3041 . . . . . . . . . . 11
118117a1i 11 . . . . . . . . . 10
119 simpr 468 . . . . . . . . . 10
120112a1i 11 . . . . . . . . . 10
121 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . 13
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
12384a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
12497ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
12527sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125adantll 728 . . . . . . . . . . . . . 14
127124, 126ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13
12821, 127sseldi 3416 . . . . . . . . . . . 12
129 iccgelb 11716 . . . . . . . . . . . . 13
130122, 123, 127, 129syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
131 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132131eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133132adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13511, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136135ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13723, 125sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13911, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140139eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
141140ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142137, 141eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143 fvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144136, 142, 143syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145144adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146133, 145eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147146adantlllr 37424 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14898ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149147, 148pm2.65da 586 . . . . . . . . . . . . . . 15
150149neqned 2650 . . . . . . . . . . . . . 14
151 ge0xrre 37729 . . . . . . . . . . . . . 14
152127, 150, 151syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
153152ltpnfd 11446 . . . . . . . . . . . 12
154122, 123, 128, 130, 153elicod 11710 . . . . . . . . . . 11
155 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
156154, 155fmptd 6061 . . . . . . . . . 10
157 0e0icopnf 11768 . . . . . . . . . . 11
158157a1i 11 . . . . . . . . . 10
15921sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12
160 xaddid2 11557 . . . . . . . . . . . . 13
161 xaddid1 11556 . . . . . . . . . . . . 13
162160, 161jca 541 . . . . . . . . . . . 12
163159, 162syl 17 . . . . . . . . . . 11
164163adantl 473 . . . . . . . . . 10
16573, 110, 116, 118, 119, 120, 156, 158, 164gsumress 16597 . . . . . . . . 9 g s g
166 rege0subm 19101 . . . . . . . . . . . . 13 SubMndfld
167166a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 SubMndfld
168 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 flds flds
169119, 167, 156, 168gsumsubm 16698 . . . . . . . . . . 11 fld g flds g
170 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11 flds g flds g
171 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14
172171mptex 6152 . . . . . . . . . . . . 13
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
174 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13 flds
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 flds
176 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . 13 s
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 s
178 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
179 ax-resscn 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180178, 179sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16
181 cnfldbas 19051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld
182168, 181ressbas2 15258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds
183180, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds
184183eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . 14 flds
185112, 21sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15
186 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s
187186, 70ressbas2 15258 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
188185, 187ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 s
189184, 188eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13 flds s
190189a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 flds s
191 rge0srg 19115 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds SRing
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 flds flds flds SRing
193 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14 flds flds flds
194 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 flds flds flds
195 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds flds
196 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds flds
197195, 196srgacl 17835 . . . . . . . . . . . . . 14 flds SRing flds flds flds flds
198192, 193, 194, 197syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 flds flds flds flds
199198adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 flds flds flds flds
200178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds
201 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds flds
202201, 184syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds
203200, 202sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds
204203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 flds flds
205178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds
206 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds flds
207206, 184syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds
208205, 207sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds
209208adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 flds flds
210 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . 16
211210eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15
212166elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
213 cnfldadd 19052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 fld
214168, 213ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 flds
215212, 214ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 flds
216215, 213eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 flds fld
217216, 213eqtr4i 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 flds
218217oveqi 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 flds
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 flds
220186, 106ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 s
221212, 220ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 s
222221eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 s
223222oveqi 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s
224223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
225211, 219, 2243eqtr4d 2515 . . . . . . . . . . . . . 14 flds s
226204, 209, 225syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13 flds flds flds s
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 flds flds flds s
228 funmpt 5625 . . . . . . . . . . . . 13
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
230154, 183syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14 flds
231230ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . 13 flds
232155rnmptss 6068 . . . . . . . . . . . . 13 flds flds
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . 12 flds
234173, 175, 177, 190, 199, 227, 229, 233gsumpropd2 16595 . . . . . . . . . . 11 flds g s g
235169, 170, 2343eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10 fld g s g
23631adantl 473 . . . . . . . . . . 11
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238236, 237gsumfsum 19111 . . . . . . . . . 10 fld g
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241240mpteq2dva 4482 . . . . . . 7 g
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244100, 243eqtrd 2505 . . . 4 Σ^ g
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24622, 9, 11, 1xrge0tsms 21930 . . 3 tsums g
247245, 246eleq12d 2543 . 2 Σ^ tsums g g
2488, 247mpbird 240 1 Σ^ tsums
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   cres 4841   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cxad 11430  cico 11662  cicc 11663  csu 13829  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268   g cgsu 15417  cxrs 15476  cmnd 16613  SubMndcsubmnd 16659  CMndccmn 17508  SRingcsrg 17817  ℂfldccnfld 19047   tsums ctsu 21218  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-ordt 15477  df-xrs 15478  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-ps 16524  df-tsr 16525  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-tsms 21219  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by: (None)
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