Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0supre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sge0supre 38345
 Description: If the arbitrary sum of nonnegative extended reals is real, then it is the supremum (in the real numbers) of finite subsums. Similar to sge0sup 38347, but here we can use with respect to instead of (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0supre.x
sge0supre.f
sge0supre.re Σ^
Assertion
Ref Expression
sge0supre Σ^
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem sge0supre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0supre.x . . 3
2 sge0supre.f . . . 4
31adantr 472 . . . . . 6
42adantr 472 . . . . . 6
5 simpr 468 . . . . . 6
63, 4, 5sge0pnfval 38329 . . . . 5 Σ^
7 sge0supre.re . . . . . . 7 Σ^
81, 2sge0repnf 38342 . . . . . . 7 Σ^ Σ^
97, 8mpbid 215 . . . . . 6 Σ^
109adantr 472 . . . . 5 Σ^
116, 10pm2.65da 586 . . . 4
122, 11fge0iccico 38326 . . 3
131, 12sge0reval 38328 . 2 Σ^
1412sge0rnre 38320 . . 3
15 sge0rnn0 38324 . . . 4
1615a1i 11 . . 3
17 simpr 468 . . . . . . 7
18 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1918elrnmpt 5087 . . . . . . . 8
2019adantl 473 . . . . . . 7
2117, 20mpbid 215 . . . . . 6
22 simp3 1032 . . . . . . . . . 10
23 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
2514, 24sstrd 3428 . . . . . . . . . . . . . 14
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
3018elrnmpt1 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15
3127, 29, 30syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
3231adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
33 supxrub 11635 . . . . . . . . . . . . 13
3426, 32, 33syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
3513eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . 13 Σ^
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 Σ^
3734, 36breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11 Σ^
38373adant3 1050 . . . . . . . . . 10 Σ^
3922, 38eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9 Σ^
40393exp 1230 . . . . . . . 8 Σ^
4140rexlimdv 2870 . . . . . . 7 Σ^
4241adantr 472 . . . . . 6 Σ^
4321, 42mpd 15 . . . . 5 Σ^
4443ralrimiva 2809 . . . 4 Σ^
45 breq2 4399 . . . . . 6 Σ^ Σ^
4645ralbidv 2829 . . . . 5 Σ^ Σ^
4746rspcev 3136 . . . 4 Σ^ Σ^
487, 44, 47syl2anc 673 . . 3
49 supxrre 11638 . . 3
5014, 16, 48, 49syl3anc 1292 . 2
5113, 50eqtrd 2505 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cicc 11663  csu 13829  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  38356  sge0resplit  38362
 Copyright terms: Public domain W3C validator