Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0ssre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sge0ssre 38353
Description: If a sum of nonnegative extended reals is real, than any subsum is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0less.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0less.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0ssre.re  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
sge0ssre  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR )

Proof of Theorem sge0ssre
StepHypRef Expression
1 sge0less.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 inex1g 4539 . . . 4  |-  ( X  e.  V  ->  ( X  i^i  Y )  e. 
_V )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  Y
)  e.  _V )
4 sge0less.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
5 fresin 5764 . . . 4  |-  ( F : X --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F  |`  Y ) : ( X  i^i  Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  Y ) : ( X  i^i  Y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
73, 6sge0xrcl 38341 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR* )
8 sge0ssre.re . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
9 mnfxr 11437 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> -oo  e.  RR* )
11 0xr 9705 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
13 mnflt0 11450 . . . 4  |- -oo  <  0
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> -oo  <  0 )
153, 6sge0ge0 38340 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) ) )
1610, 12, 7, 14, 15xrltletrd 11481 . 2  |-  ( ph  -> -oo  <  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) ) )
171, 4sge0less 38348 . 2  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
18 xrre 11487 . 2  |-  ( ( ( (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR*  /\  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  /\  ( -oo  <  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  /\  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  <_  (Σ^ `  F ) ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR )
197, 8, 16, 17, 18syl22anc 1293 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  Y ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   class class class wbr 4395    |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0ssrempt  38361  sge0resplit  38362  sge0split  38365
  Copyright terms: Public domain W3C validator