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Theorem sge0split 38006
Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sge0split.u  |-  U  =  ( A  u.  B
)
sge0split.in0  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sge0split.f  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0split  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )

Proof of Theorem sge0split
Dummy variables  a 
b  x  z  y  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0split.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
21adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  A  e.  V
)
3 sge0split.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
43adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  B  e.  W
)
5 sge0split.u . . . 4  |-  U  =  ( A  u.  B
)
6 sge0split.in0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
76adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
8 sge0split.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
98adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
10 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
112, 4, 5, 7, 9, 10sge0resplit 38003 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
12 unexg 6598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
131, 3, 12syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
145, 13syl5eqel 2512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
1514adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  U  e.  _V )
1615, 9, 10sge0ssre 37994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR )
1715, 9, 10sge0ssre 37994 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )
18 rexadd 11521 . . . . 5  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 665 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
2019eqcomd 2428 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
2111, 20eqtrd 2461 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
22 simpl 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  ph )
23 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  -.  (Σ^ `  F )  e.  RR )
2414, 8sge0repnf 37983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
2524adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
2623, 25mtbid 301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  -.  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )
2726notnotrd 116 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
2814, 8sge0xrcl 37982 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
2928adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
30 ssun1 3626 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
3130, 5sseqtr4i 3494 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  U
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
338, 32fssresd 5759 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
341, 33sge0xrcl 37982 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR* )
35 iccssxr 11713 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
36 ssun2 3627 . . . . . . . . . . 11  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
3736, 5sseqtr4i 3494 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  U
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
398, 38fssresd 5759 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
403, 39sge0cl 37978 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4135, 40sseldi 3459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR* )
4234, 41xaddcld 11583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  e.  RR* )
4342adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  e.  RR* )
44 pnfxr 11408 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
45 eqid 2420 . . . . . . . . 9  |- +oo  = +oo
46 xreqle 37364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ +oo  = +oo )  -> +oo  <_ +oo )
4744, 45, 46mp2an 676 . . . . . . . 8  |- +oo  <_ +oo
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  <_ +oo )
4914adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  U  e.  _V )
508adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  F : U
--> ( 0 [,] +oo ) )
51 rnresss 37289 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( F  |`  A )  C_  ran  F
5251sseli 3457 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  -> +oo  e.  ran  F )
5352adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  e.  ran  F )
5449, 50, 53sge0pnfval 37970 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
55 ge0nemnf2 37430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =/= -oo )
5640, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =/= -oo )
57 xaddpnf2 11516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR*  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =/= -oo )  -> 
( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
5841, 56, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( +oo +e
(Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
5958eqcomd 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> +oo  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
6059adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
611adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  A  e.  V )
6233adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
63 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
6461, 62, 63sge0pnfval 37970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  = +oo )
6564oveq1d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
6660, 54, 653eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
6766, 54eqtr3d 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
6854, 67breq12d 4430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  <_  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <-> +oo  <_ +oo )
)
6948, 68mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
7047a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> +oo  <_ +oo )
7114adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  U  e.  _V )
728adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  F : U
--> ( 0 [,] +oo ) )
73 rnresss 37289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( F  |`  B )  C_  ran  F
7473sseli 3457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  B )  -> +oo  e.  ran  F )
7574adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> +oo  e.  ran  F )
7671, 72, 75sge0pnfval 37970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
773adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  B  e.  W )
7839adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
79 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
8077, 78, 79sge0pnfval 37970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  = +oo )
8180oveq2d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo ) )
821, 33sge0cl 37978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
83 ge0nemnf2 37430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =/= -oo )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =/= -oo )
85 xaddpnf1 11515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR*  /\  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =/= -oo )  -> 
( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo )  = +oo )
8634, 84, 85syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo )  = +oo )
8786adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo )  = +oo )
8881, 87eqtrd 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
8976, 88breq12d 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  <_  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <-> +oo  <_ +oo )
)
9070, 89mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
9190adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> 
(Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
92 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
93 vex 3081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
94 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
9594elrnmpt 5093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
9693, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
9792, 96sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
98 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  z  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
99 inss1 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( x  i^i  A )
100 inss2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
10199, 100sstri 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  A
102 inss2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( x  i^i  B )
103 inss2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
104102, 103sstri 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  B
105101, 104ssini 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( A  i^i  B )
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  C_  ( A  i^i  B ) )
107106, 6sseqtrd 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  C_  (/) )
108 ss0 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  C_  (/) 
->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
110109ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
111 indi 3716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  B )
)
112111eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i 
B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
1145eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  u.  B )  =  U
115114ineq2i 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( x  i^i  U
)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( x  i^i  U
) )
117 elinel1 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U )
118 elpwi 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ~P U  ->  x  C_  U )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  C_  U )
120 df-ss 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  U  <->  ( x  i^i  U )  =  x )
121120biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
122119, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
123113, 116, 1223eqtrrd 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
124123adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
125 elinel2 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
126125adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
127 rge0ssre 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
1288ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
129 pm4.56 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  <->  -.  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  \/ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) ) )
130129biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -.  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  \/ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) ) )
131 elun 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( +oo  e.  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  <->  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  \/ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) ) )
132130, 131sylnibr 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) ) )
133132adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) ) )
134 rnresun 37286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ran  ( F  |`  ( A  u.  B ) )  =  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )
135134eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  ( F  |`  ( A  u.  B
) )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  ( F  |`  ( A  u.  B ) ) )
137114reseq2i 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( F  |`  U )
138137rneqi 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ran  ( F  |`  ( A  u.  B ) )  =  ran  ( F  |`  U )
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  ( A  u.  B
) )  =  ran  ( F  |`  U ) )
140 ffn 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F : U --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  U )
141 fnresdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  Fn  U  ->  ( F  |`  U )  =  F )
1428, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( F  |`  U )  =  F )
143142rneqd 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  U )  =  ran  F )
144136, 139, 1433eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  F
)
145144ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( ran  ( F  |`  A )  u. 
ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  F )
146133, 145neleqtrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ran  F )
147128, 146fge0iccico 37967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
148147ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F : U
--> ( 0 [,) +oo ) )
149119adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  U
)
150 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
151149, 150sseldd 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
152151adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
153148, 152ffvelrnd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
154127, 153sseldi 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  RR )
155154recnd 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  CC )
156110, 124, 126, 155fsumsplit 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
157 infi 7793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
158125, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
159158adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
160 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ) )
161 elinel1 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  x )
162161adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A ) )  ->  y  e.  x )
163160, 162, 154syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
164159, 163fsumrecl 13778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  RR )
165 infi 7793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
166125, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
167166adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
168 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  ->  ( (
( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ) )
169 elinel1 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  x )
170169adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  ->  y  e.  x )
171168, 170, 154syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
172167, 171fsumrecl 13778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  RR )
173 rexadd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  RR  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y )  e.  RR )  -> 
( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) )  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )
174164, 172, 173syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y ) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) )  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
175174eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
) )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )
176156, 175eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )
177 ressxr 9680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  RR*
178177, 164sseldi 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  RR* )
179177, 172sseldi 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  RR* )
1801adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  A  e.  V )
18133adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
182 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
183181, 182fge0iccico 37967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
184180, 183sge0reval 37969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
185184eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
18634adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR* )
187185, 186eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
188187adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1893adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  B  e.  W )
19039adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
191 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
192190, 191fge0iccico 37967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
193189, 192sge0reval 37969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
194193eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
19541adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR* )
196194, 195eqeltrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
197196adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  (
c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
198188, 197jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\ 
sup ( ran  (
c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
199198adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
200178, 179, 199jca31 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  RR*  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  e. 
RR* )  /\  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) ) )
201180adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V
)
202181adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
203182adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
204202, 203fge0iccico 37967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
205100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  A
)
206158adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  Fin )
207201, 204, 205, 206fsumlesge0 37974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
208100sseli 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  A )
209 fvres 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
211210adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
212211sumeq2dv 13747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y ) )
213184adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
214212, 213breq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
215207, 214mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
216215adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
217189adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  W
)
218190adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
219191adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
220218, 219fge0iccico 37967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
221103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
B )  C_  B
)
222166adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
B )  e.  Fin )
223217, 220, 221, 222fsumlesge0 37974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
224103sseli 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  B )
225 fvres 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
227226adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B
) )  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
228227sumeq2dv 13747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) )
229193adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
230228, 229breq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
231223, 230mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
232231adantllr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
233216, 232jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y )  <_  sup ( ran  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
234 xle2add 11541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  RR*  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  e. 
RR* )  /\  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )  ->  (
( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y ) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y ) )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
235200, 233, 234sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y ) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) )  <_ 
( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
236176, 235eqbrtrd 4438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
2372363adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  z  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
23898, 237eqbrtrd 4438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  z  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  z  <_  ( sup ( ran  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
2392383exp 1204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
240239rexlimdv 2913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
241240adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
24297, 241mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
243242ralrimiva 2837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
244147sge0rnre 37961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
245177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  RR  C_  RR* )
246244, 245sstrd 3471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
247188, 197xaddcld 11583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  e.  RR* )
248 supxrleub 11608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
249246, 247, 248syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
250243, 249mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
25114ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  U  e.  _V )
252251, 147sge0reval 37969 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
253184adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
254193adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
255253, 254oveq12d 6315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
256250, 252, 2553brtr4d 4448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
25791, 256pm2.61dan 798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
25869, 257pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
259258adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
260 pnfge 11428 . . . . . . 7  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  e.  RR*  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_ +oo )
26142, 260syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_ +oo )
262261adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_ +oo )
263 id 23 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  F
)  = +oo  ->  (Σ^ `  F
)  = +oo )
264263eqcomd 2428 . . . . . 6  |-  ( (Σ^ `  F
)  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  F ) )
265264adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  F
) )
266262, 265breqtrd 4442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
26729, 43, 259, 266xrletrid 11448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
26822, 27, 267syl2anc 665 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
26921, 268pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4476   ran crn 4847    |` cres 4848    Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6297   Fincfn 7569   supcsup 7952   RRcr 9534   0cc0 9535    + caddc 9538   +oocpnf 9668   -oocmnf 9669   RR*cxr 9670    < clt 9671    <_ cle 9672   +ecxad 11403   [,)cico 11633   [,]cicc 11634   sum_csu 13730  Σ^csumge0 37959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-se 4806  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-oi 8023  df-card 8370  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-xadd 11406  df-ico 11637  df-icc 11638  df-fz 11779  df-fzo 11910  df-seq 12207  df-exp 12266  df-hash 12509  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-sumge0 37960
This theorem is referenced by:  sge0splitmpt  38008
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