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Theorem sge0split 38365
Description: Split a sum of nonnegative extended reals into two parts. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sge0split.u  |-  U  =  ( A  u.  B
)
sge0split.in0  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
sge0split.f  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0split  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )

Proof of Theorem sge0split
Dummy variables  a 
b  x  z  y  c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0split.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
21adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  A  e.  V
)
3 sge0split.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
43adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  B  e.  W
)
5 sge0split.u . . . 4  |-  U  =  ( A  u.  B
)
6 sge0split.in0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
76adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
8 sge0split.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
98adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
10 simpr 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
112, 4, 5, 7, 9, 10sge0resplit 38362 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
12 unexg 6611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
131, 3, 12syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
145, 13syl5eqel 2553 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  _V )
1514adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  U  e.  _V )
1615, 9, 10sge0ssre 38353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR )
1715, 9, 10sge0ssre 38353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )
18 rexadd 11548 . . . . 5  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 673 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
2019eqcomd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  +  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
2111, 20eqtrd 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
22 simpl 464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  ph )
23 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  -.  (Σ^ `  F )  e.  RR )
2414, 8sge0repnf 38342 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
2524adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
2623, 25mtbid 307 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  -.  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )
2726notnotrd 117 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
2814, 8sge0xrcl 38341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
2928adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
30 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
3130, 5sseqtr4i 3451 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  U
3231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
338, 32fssresd 5762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
341, 33sge0xrcl 38341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR* )
35 iccssxr 11742 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
36 ssun2 3589 . . . . . . . . . . 11  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
3736, 5sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  U
3837a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
398, 38fssresd 5762 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
403, 39sge0cl 38337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4135, 40sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR* )
4234, 41xaddcld 11612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  e.  RR* )
4342adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  e.  RR* )
44 pnfxr 11435 . . . . . . . . 9  |- +oo  e.  RR*
45 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |- +oo  = +oo
46 xreqle 37628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( +oo  e.  RR*  /\ +oo  = +oo )  -> +oo  <_ +oo )
4744, 45, 46mp2an 686 . . . . . . . 8  |- +oo  <_ +oo
4847a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  <_ +oo )
4914adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  U  e.  _V )
508adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  F : U
--> ( 0 [,] +oo ) )
51 rnresss 37522 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  ( F  |`  A )  C_  ran  F
5251sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  -> +oo  e.  ran  F )
5352adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  e.  ran  F )
5449, 50, 53sge0pnfval 38329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
55 ge0nemnf2 37726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =/= -oo )
5640, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =/= -oo )
57 xaddpnf2 11543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR*  /\  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =/= -oo )  -> 
( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
5841, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( +oo +e
(Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
5958eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> +oo  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
6059adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
611adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  A  e.  V )
6233adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
63 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  -> +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
6461, 62, 63sge0pnfval 38329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  = +oo )
6564oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( +oo +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
6660, 54, 653eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
6766, 54eqtr3d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
6854, 67breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  <_  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <-> +oo  <_ +oo )
)
6948, 68mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
7047a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> +oo  <_ +oo )
7114adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  U  e.  _V )
728adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  F : U
--> ( 0 [,] +oo ) )
73 rnresss 37522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  ( F  |`  B )  C_  ran  F
7473sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  B )  -> +oo  e.  ran  F )
7574adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> +oo  e.  ran  F )
7671, 72, 75sge0pnfval 38329 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  = +oo )
773adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  B  e.  W )
7839adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
79 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
8077, 78, 79sge0pnfval 38329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  = +oo )
8180oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo ) )
821, 33sge0cl 38337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
83 ge0nemnf2 37726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =/= -oo )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =/= -oo )
85 xaddpnf1 11542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR*  /\  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =/= -oo )  -> 
( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo )  = +oo )
8634, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo )  = +oo )
8786adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e +oo )  = +oo )
8881, 87eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  = +oo )
8976, 88breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  F
)  <_  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <-> +oo  <_ +oo )
)
9070, 89mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
9190adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  -> 
(Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
92 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )
93 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
94 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
9594elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
) )
9693, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  <->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
9792, 96sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )
)
98 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  z  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )
99 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( x  i^i  A )
100 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
10199, 100sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  A
102 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( x  i^i  B )
103 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  i^i  B )  C_  B
104102, 103sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  B
105101, 104ssini 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  i^i  A )  i^i  ( x  i^i 
B ) )  C_  ( A  i^i  B )
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  C_  ( A  i^i  B ) )
107106, 6sseqtrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  C_  (/) )
108 ss0 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  C_  (/) 
->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  i^i 
A )  i^i  (
x  i^i  B )
)  =  (/) )
110109ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( x  i^i  A
)  i^i  ( x  i^i  B ) )  =  (/) )
111 indi 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( ( x  i^i 
A )  u.  (
x  i^i  B )
)
112111eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i 
B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B )
)
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
( x  i^i  A
)  u.  ( x  i^i  B ) )  =  ( x  i^i  ( A  u.  B
) ) )
1145eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  u.  B )  =  U
115114ineq2i 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( x  i^i  U
)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  ( A  u.  B ) )  =  ( x  i^i  U
) )
117 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P U )
118 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ~P U  ->  x  C_  U )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  C_  U )
120 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x 
C_  U  <->  ( x  i^i  U )  =  x )
121120biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x 
C_  U  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
122119, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  U )  =  x )
123113, 116, 1223eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  =  ( ( x  i^i  A )  u.  ( x  i^i  B
) ) )
125 elinel2 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  x  e.  Fin )
127 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
1288ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  F : U --> ( 0 [,] +oo ) )
129 pm4.56 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  <->  -.  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  \/ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) ) )
130129biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -.  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  \/ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) ) )
131 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( +oo  e.  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  <->  ( +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  \/ +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) ) )
132130, 131sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) ) )
133132adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) ) )
134 rnresun 37519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ran  ( F  |`  ( A  u.  B ) )  =  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )
135134eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  ( F  |`  ( A  u.  B
) )
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  ( F  |`  ( A  u.  B ) ) )
137114reseq2i 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( F  |`  U )
138137rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ran  ( F  |`  ( A  u.  B ) )  =  ran  ( F  |`  U )
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  ( A  u.  B
) )  =  ran  ( F  |`  U ) )
140 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F : U --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  U )
141 fnresdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( F  Fn  U  ->  ( F  |`  U )  =  F )
1428, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( F  |`  U )  =  F )
143142rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ran  ( F  |`  U )  =  ran  F )
144136, 139, 1433eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ran  ( F  |`  A )  u.  ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  F
)
145144ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( ran  ( F  |`  A )  u. 
ran  ( F  |`  B ) )  =  ran  F )
146133, 145neleqtrd 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ran  F )
147128, 146fge0iccico 38326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  F : U --> ( 0 [,) +oo ) )
148147ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  F : U
--> ( 0 [,) +oo ) )
149119adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  U
)
150 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
151149, 150sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
152151adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  U )
153148, 152ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
154127, 153sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  RR )
155154recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  CC )
156110, 124, 126, 155fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
157 infi 7813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
158125, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
159158adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  A )  e.  Fin )
160 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A ) )  ->  ( (
( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ) )
161 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  x )
162161adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A ) )  ->  y  e.  x )
163160, 162, 154syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
164159, 163fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  RR )
165 infi 7813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
166125, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
167166adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
x  i^i  B )  e.  Fin )
168 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  ->  ( (
( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) ) )
169 elinel1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  x )
170169adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  ->  y  e.  x )
171168, 170, 154syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
-. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
172167, 171fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  RR )
173 rexadd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  RR  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y )  e.  RR )  -> 
( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) )  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )
174164, 172, 173syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y ) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) )  =  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) ) )
175174eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y )  +  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
) )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )
176156, 175eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  =  (
sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y ) ) )
177 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  RR  C_  RR*
178177, 164sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  e.  RR* )
179177, 172sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  e.  RR* )
1801adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  A  e.  V )
18133adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
182 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
183181, 182fge0iccico 38326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
184180, 183sge0reval 38328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
185184eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
18634adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  e.  RR* )
187185, 186eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
188187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
1893adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  B  e.  W )
19039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
191 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
192190, 191fge0iccico 38326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
193189, 192sge0reval 38328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
194193eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  =  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
19541adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  e.  RR* )
196194, 195eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
197196adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  (
c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
198188, 197jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\ 
sup ( ran  (
c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |-> 
sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
199198adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )
200178, 179, 199jca31 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (
( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  RR*  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  e. 
RR* )  /\  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) ) )
201180adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V
)
202181adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
203182adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )
204202, 203fge0iccico 38326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  A ) : A --> ( 0 [,) +oo ) )
205100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
A )  C_  A
)
206158adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  Fin )
207201, 204, 205, 206fsumlesge0 38333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) )
208100sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  y  e.  A )
209 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  A  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
A )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
211210adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  A
) )  ->  (
( F  |`  A ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
212211sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( ( F  |`  A ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y ) )
213184adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
214212, 213breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( ( F  |`  A ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
215207, 214mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
216215adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y )  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
217189adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  W
)
218190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
219191adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )
220218, 219fge0iccico 38326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( F  |`  B ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
221103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
B )  C_  B
)
222166adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( x  i^i 
B )  e.  Fin )
223217, 220, 221, 222fsumlesge0 38333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )
224103sseli 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  y  e.  B )
225 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  B  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
B )  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  /\  y  e.  ( x  i^i  B
) )  ->  (
( F  |`  B ) `
 y )  =  ( F `  y
) )
228227sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( ( F  |`  B ) `  y
)  =  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) )
229193adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
230228, 229breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( ( F  |`  B ) `  y
)  <_  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  <->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
231223, 230mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
232231adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y )  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
233216, 232jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y )  <_  sup ( ran  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
234 xle2add 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  e.  RR*  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  e. 
RR* )  /\  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )  ->  (
( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y
)  <_  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  )  /\  sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `
 y )  <_  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A
) ( F `  y ) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B ) ( F `  y ) )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
235200, 233, 234sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  ( sum_ y  e.  ( x  i^i  A ) ( F `  y ) +e sum_ y  e.  ( x  i^i  B
) ( F `  y ) )  <_ 
( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
236176, 235eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
2372363adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  z  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
23898, 237eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  /\  z  = 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  ->  z  <_  ( sup ( ran  (
a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |-> 
sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
2392383exp 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  ->  ( z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) ) )
240239rexlimdv 2870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin ) z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
241240adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  ( E. x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )
z  =  sum_ y  e.  x  ( F `  y )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
24297, 241mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  /\  z  e. 
ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) )  ->  z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
243242ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
244147sge0rnre 38320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR )
245177a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  RR  C_  RR* )
246244, 245sstrd 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR* )
247188, 197xaddcld 11612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  e.  RR* )
248 supxrleub 11637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) )  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
249246, 247, 248syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) )  <->  A. z  e.  ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) z  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) ) )
250243, 249mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  sup ( ran  (
x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |-> 
sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
25114ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  U  e.  _V )
252251, 147sge0reval 38328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  =  sup ( ran  ( x  e.  ( ~P U  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( F `  y ) ) ,  RR* ,  <  ) )
253184adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  A ) )  =  sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b
) ) ,  RR* ,  <  ) )
254193adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  ( F  |`  B ) )  =  sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) )
255253, 254oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  =  ( sup ( ran  ( a  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  sum_ b  e.  a  ( ( F  |`  A ) `  b ) ) , 
RR* ,  <  ) +e sup ( ran  ( c  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  |->  sum_ d  e.  c  ( ( F  |`  B ) `  d
) ) ,  RR* ,  <  ) ) )
256250, 252, 2553brtr4d 4426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  B ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
25791, 256pm2.61dan 808 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -. +oo  e.  ran  ( F  |`  A ) )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
25869, 257pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
259258adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  <_  (
(Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
260 pnfge 11455 . . . . . . 7  |-  ( ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  e.  RR*  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_ +oo )
26142, 260syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_ +oo )
262261adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_ +oo )
263 id 22 . . . . . . 7  |-  ( (Σ^ `  F
)  = +oo  ->  (Σ^ `  F
)  = +oo )
264263eqcomd 2477 . . . . . 6  |-  ( (Σ^ `  F
)  = +oo  -> +oo  =  (Σ^ `  F ) )
265264adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  -> +oo  =  (Σ^ `  F
) )
266262, 265breqtrd 4420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) )  <_  (Σ^ `  F ) )
26729, 43, 259, 266xrletrid 11475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  F )  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
26822, 27, 267syl2anc 673 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  e.  RR )  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
26921, 268pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  =  ( (Σ^ `  ( F  |`  A ) ) +e (Σ^ `  ( F  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  sge0splitmpt  38367
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