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Theorem sge0rpcpnf 38377
Description: The sum of an infinite number of a positive constant, is +oo (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0rpcpnf.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0rpcpnf.nfi  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  Fin )
sge0rpcpnf.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
sge0rpcpnf  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem sge0rpcpnf
Dummy variables  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0rpcpnf.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
21adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  A  e.  V )
3 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
5 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- +oo  e.  RR*
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
7 sge0rpcpnf.b . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
87rpxrd 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
97rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
107rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
11 ltpnf 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  RR  ->  B  < +oo )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  < +oo )
138, 6, 12xrltled 37574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  <_ +oo )
144, 6, 8, 9, 13eliccxrd 37724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
16 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
1715, 16fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
1817adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
192, 18sge0xrcl 38341 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. 
RR* )
205a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  -> +oo  e.  RR* )
21 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )
2219, 20, 21xrgtned 37632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  -> +oo  =/=  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) ) )
2322necomd 2698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  =/= +oo )
2423neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  -.  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
252, 18sge0repnf 38342 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  = +oo ) )
2624, 25mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
2710adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  B  e.  RR )
287rpne0d 11369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
2928adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  B  =/=  0 )
3026, 27, 29redivcld 10457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  e.  RR )
31 arch 10890 . . . . 5  |-  ( ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)
3230, 31syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)
33 sge0rpcpnf.nfi . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  A  e.  Fin )
34 ishashinf 12667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  Fin  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  ~P  A
( # `  y )  =  n )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. y  e.  ~P  A
( # `  y )  =  n )
3635r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y  e.  ~P  A ( # `  y )  =  n )
37 df-rex 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  ~P  A
( # `  y )  =  n  <->  E. y
( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )
3836, 37sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. y
( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )
3938adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  E. y ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y )  =  n ) )
40393adant3 1050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  E. y
( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )
41 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )
42 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  y  e.  ~P A )
43 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( # `  y )  =  n )  -> 
( # `  y )  =  n )
44 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( # `  y )  =  n )  ->  n  e.  NN )
4543, 44eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( # `  y )  =  n )  -> 
( # `  y )  e.  NN )
46 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN  ->  ( # `  y
)  e.  NN0 )
47 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  y )  e.  NN  ->  y  e.  _V )
49 hashclb 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  (
y  e.  Fin  <->  ( # `  y
)  e.  NN0 )
)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  y )  e.  NN  ->  ( y  e.  Fin  <->  ( # `  y
)  e.  NN0 )
)
5146, 50mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  y )  e.  NN  ->  y  e.  Fin )
5245, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( # `  y )  =  n )  -> 
y  e.  Fin )
5352adantrl 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  y  e.  Fin )
54533ad2antl2 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  y  e.  Fin )
5542, 54elind 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
56 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )
57263ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  e.  RR )
58 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
59583ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  n  e.  RR )
607adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  B  e.  RR+ )
61603ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  B  e.  RR+ )
6257, 59, 61ltdivmul2d 11413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  ( (
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n  <->  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  <  (
n  x.  B ) ) )
6356, 62mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
( n  x.  B
) )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
( n  x.  B
) )
6553adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  y  e.  Fin )
663a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  /\  x  e.  y )  ->  0  e.  RR* )
675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  /\  x  e.  y )  -> +oo  e.  RR* )
688ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  /\  x  e.  y )  ->  B  e.  RR* )
699ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  /\  x  e.  y )  ->  0  <_  B )
7012ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  /\  x  e.  y )  ->  B  < +oo )
7166, 67, 68, 69, 70elicod 11710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  /\  x  e.  y )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7265, 71sge0fsummpt 38346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) )  = 
sum_ x  e.  y  B )
7310recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
7473ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  B  e.  CC )
75 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ x  e.  y  B  =  ( ( # `
 y )  x.  B ) )
7665, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  sum_ x  e.  y  B  =  ( ( # `  y
)  x.  B ) )
77 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  y )  =  n  ->  ( (
# `  y )  x.  B )  =  ( n  x.  B ) )
7877adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n )  ->  ( ( # `  y )  x.  B
)  =  ( n  x.  B ) )
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  ( ( # `
 y )  x.  B )  =  ( n  x.  B ) )
8072, 76, 793eqtrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  ( n  x.  B )  =  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) ) )
8180adantllr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN )  /\  (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  ( n  x.  B )  =  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) ) )
82813adantl3 1188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  ( n  x.  B )  =  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) ) )
8364, 82breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
8455, 83jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  /  B
)  <  n )  /\  ( y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n ) )  ->  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) )
8584ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( # `  y
)  =  n )  ->  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) ) )
8641, 85eximd 1980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  ( E. y ( y  e. 
~P A  /\  ( # `
 y )  =  n )  ->  E. y
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) ) )
8740, 86mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  E. y
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) )
88 df-rex 2762 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) )  <->  E. y
( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) )
8987, 88sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  /\  n  e.  NN  /\  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n
)  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
90893exp 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  ( n  e.  NN  ->  (
( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) ) )
9190rexlimdv 2870 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  ( E. n  e.  NN  (
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  /  B )  <  n  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) ) )
9232, 91mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
931adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  A  e.  V )
9415adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
95 elpwinss 37446 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  y  C_  A )
9695adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  C_  A )
9793, 94, 96sge0lessmpt 38355 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) )  <_  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) ) )
98 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )
9914adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  y )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
100 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  y  |->  B )  =  ( x  e.  y  |->  B )
10199, 100fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  y 
|->  B ) : y --> ( 0 [,] +oo ) )
102101adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
x  e.  y  |->  B ) : y --> ( 0 [,] +oo )
)
10398, 102sge0xrcl 38341 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) )  e.  RR* )
1041, 17sge0xrcl 38341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. 
RR* )
105104adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  e.  RR* )
106103, 105xrlenltd 9718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  (
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) )  <_ 
(Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  <->  -.  (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  <  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) ) ) )
10797, 106mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) )  ->  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
108107ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
109 ralnex 2834 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) )  <->  -.  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
110108, 109sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < 
(Σ^ `  ( x  e.  y 
|->  B ) ) )
111110adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )  ->  -.  E. y  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  <  (Σ^ `  (
x  e.  y  |->  B ) ) )
11292, 111pm2.65da 586 . 2  |-  ( ph  ->  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo )
113 nltpnft 11484 . . 3  |-  ( (Σ^ `  (
x  e.  A  |->  B ) )  e.  RR*  ->  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  = +oo  <->  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo ) )
114104, 113syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  = +oo  <->  -.  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  < +oo ) )
115112, 114mpbird 240 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( x  e.  A  |->  B ) )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   RR+crp 11325   [,]cicc 11663   #chash 12553   sum_csu 13829  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
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