Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0revalmpt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sge0revalmpt 38334
 Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0revalmpt.1
sge0revalmpt.2
sge0revalmpt.3
Assertion
Ref Expression
sge0revalmpt Σ^
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem sge0revalmpt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0revalmpt.2 . . 3
2 sge0revalmpt.1 . . . 4
3 sge0revalmpt.3 . . . 4
4 eqid 2471 . . . 4
52, 3, 4fmptdf 6063 . . 3
61, 5sge0reval 38328 . 2 Σ^
7 fveq2 5879 . . . . . . . 8
8 nfcv 2612 . . . . . . . 8
9 nfcv 2612 . . . . . . . 8
10 nfmpt1 4485 . . . . . . . . 9
11 nfcv 2612 . . . . . . . . 9
1210, 11nffv 5886 . . . . . . . 8
13 nfcv 2612 . . . . . . . 8
147, 8, 9, 12, 13cbvsum 13838 . . . . . . 7
1514a1i 11 . . . . . 6
16 nfv 1769 . . . . . . . . 9
172, 16nfan 2031 . . . . . . . 8
18 elpwinss 37446 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
20 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11
2221adantll 728 . . . . . . . . . 10
23 simpll 768 . . . . . . . . . . 11
2423, 22, 3syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
254fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10
2622, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . . . 9
2726ex 441 . . . . . . . 8
2817, 27ralrimi 2800 . . . . . . 7
29 sumeq2 13837 . . . . . . 7
3028, 29syl 17 . . . . . 6
3115, 30eqtrd 2505 . . . . 5
3231mpteq2dva 4482 . . . 4
3332rneqd 5068 . . 3
3433supeq1d 7978 . 2
356, 34eqtrd 2505 1 Σ^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wral 2756   cin 3389   wss 3390  cpw 3942   cmpt 4454   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693  cico 11662  csu 13829  Σ^csumge0 38318 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-seq 12252  df-sum 13830  df-sumge0 38319 This theorem is referenced by:  sge0f1o  38338  sge0xaddlem1  38389  sge0xaddlem2  38390
 Copyright terms: Public domain W3C validator