Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0repnf Structured version   Unicode version

Theorem sge0repnf 38136
Description: The of nonnegative extended reals is a real number if and only if it is not +oo. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0repnf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
sge0repnf.f  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
Assertion
Ref Expression
sge0repnf  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )

Proof of Theorem sge0repnf
StepHypRef Expression
1 renepnf 9695 . . . 4  |-  ( (Σ^ `  F
)  e.  RR  ->  (Σ^ `  F
)  =/= +oo )
21neneqd 2621 . . 3  |-  ( (Σ^ `  F
)  e.  RR  ->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo )
32a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  ->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
4 rge0ssre 11747 . . . 4  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
5 0xr 9694 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  0  e.  RR* )
7 pnfxr 11419 . . . . . 6  |- +oo  e.  RR*
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  -> +oo  e.  RR* )
9 sge0repnf.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 sge0repnf.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
119, 10sge0xrcl 38135 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
1211adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR* )
139, 10sge0ge0 38134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  (Σ^ `  F ) )
1413adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  0  <_  (Σ^ `  F ) )
15 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo )
16 nltpnft 11468 . . . . . . . . 9  |-  ( (Σ^ `  F
)  e.  RR*  ->  ( (Σ^ `  F )  = +oo  <->  -.  (Σ^ `  F )  < +oo ) )
1711, 16syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  = +oo  <->  -.  (Σ^ `  F )  < +oo ) )
1817adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  ( (Σ^ `  F )  = +oo  <->  -.  (Σ^ `  F )  < +oo ) )
1915, 18mtbid 301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  -.  -.  (Σ^ `  F )  < +oo )
2019notnotrd 116 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  < +oo )
216, 8, 12, 14, 20elicod 11692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
224, 21sseldi 3462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (Σ^ `  F
)  = +oo )  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR )
2322ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  (Σ^ `  F )  = +oo  ->  (Σ^ `  F )  e.  RR ) )
243, 23impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( (Σ^ `  F )  e.  RR  <->  -.  (Σ^ `  F )  = +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4423   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   [,)cico 11644   [,]cicc 11645  Σ^csumge0 38112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-sumge0 38113
This theorem is referenced by:  sge0rern  38138  sge0supre  38139  sge0less  38142  sge0le  38157  sge0split  38159  sge0iunmpt  38168  sge0rpcpnf  38171  sge0xadd  38185  sge0repnfmpt  38189  sge0gtfsumgt  38193  omeiunltfirp  38248  hoidmv1lelem1  38317  hoidmv1lelem2  38318  hoidmv1lelem3  38319  hoidmv1le  38320  hoidmvlelem3  38323  hoidmvlelem5  38325
  Copyright terms: Public domain W3C validator