Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0prle Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sge0prle 38357
Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 38350. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0prle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sge0prle.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sge0prle.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0prle.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,] +oo ) )
sge0prle.cd  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
sge0prle.ce  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
sge0prle  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  <_ 
( D +e
E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    D, k    k, E   
k, V    k, W    ph, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sge0prle
StepHypRef Expression
1 preq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { B ,  B }
)
2 dfsn2 3972 . . . . . . . . . 10  |-  { B }  =  { B ,  B }
32eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  { B ,  B }  =  { B }
43a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  { B ,  B }  =  { B } )
51, 4eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  { A ,  B }  =  { B } )
65mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C )  =  ( k  e. 
{ B }  |->  C ) )
76fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  { B }  |->  C ) ) )
87adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  =  (Σ^ `  ( k  e.  { B }  |->  C ) ) )
9 sge0prle.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
10 sge0prle.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,] +oo ) )
11 sge0prle.ce . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
129, 10, 11sge0snmpt 38339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  { B }  |->  C ) )  =  E )
1312adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { B }  |->  C ) )  =  E )
148, 13eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  =  E )
15 iccssxr 11742 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
1615, 10sseldi 3416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR* )
1716xaddid2d 37629 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 +e
E )  =  E )
1817eqcomd 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  =  ( 0 +e E ) )
19 0xr 9705 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR*
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
21 sge0prle.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2215, 21sseldi 3416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
23 pnfxr 11435 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> +oo  e.  RR* )
25 iccgelb 11716 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  0  <_  D )
2620, 24, 21, 25syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
2720, 22, 16, 26xleadd1d 37639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 +e
E )  <_  ( D +e E ) )
2818, 27eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  <_  ( D +e E ) )
2928adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  E  <_  ( D +e
E ) )
3014, 29eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  =  B )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  <_  ( D +e E ) )
31 sge0prle.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3231adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  A  e.  V )
339adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  W )
3421adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  D  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3510adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  E  e.  ( 0 [,] +oo ) )
36 sge0prle.cd . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
37 neqne 2651 . . . . 5  |-  ( -.  A  =  B  ->  A  =/=  B )
3837adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  A  =/=  B )
3932, 33, 34, 35, 36, 11, 38sge0pr 38350 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  =  ( D +e E ) )
4022, 16xaddcld 11612 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D +e
E )  e.  RR* )
41 xrleid 11472 . . . . 5  |-  ( ( D +e E )  e.  RR*  ->  ( D +e E )  <_  ( D +e E ) )
4240, 41syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D +e
E )  <_  ( D +e E ) )
4342adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  ( D +e E )  <_  ( D +e E ) )
4439, 43eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  (Σ^ `  (
k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  <_  ( D +e E ) )
4530, 44pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  (Σ^ `  ( k  e.  { A ,  B }  |->  C ) )  <_ 
( D +e
E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {csn 3959   {cpr 3961   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    <_ cle 9694   +ecxad 11430   [,]cicc 11663  Σ^csumge0 38318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-sumge0 38319
This theorem is referenced by:  omeunle  38456
  Copyright terms: Public domain W3C validator